2013-广东卷理-10 填-切线斜率

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线斜率。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 若曲线 $y=kx+\ln x$ 在点 $(1,k)$ 处的切线平行于 $x$ 轴，则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化几何条件：切线平行于 $x$ 轴 $⟹$ 切线的斜率 $K=0$。
2. 利用导数定义：根据导数的几何意义，曲线在点 $(x_0,y_0)$ 处的切线斜率等于该点处的导数值，即 $f^{\prime }(x_0)=K$。
3. 求导运算：对函数 $y=kx+\ln x$ 进行求导。
4. 建立方程：令 $x=1$ 时的导数值等于 0，解方程求出 $k$。

✅【答案】

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-1

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求函数的导数 已知函数 $y=kx+\ln x$。 根据求导法则： $y^{\prime }=(kx{)}^{\prime }+(\ln x{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=k+\frac{1}{x}$

第二步：利用切线斜率建立等式 因为曲线在点 $(1,k)$ 处的切线平行于 $x$ 轴， 所以该点处的切线斜率为 $0$。 即当 $x=1$ 时，$y^{\prime }=0$。

第三步：求 $k$ 的值 将 $x=1$ 代入导数公式： $k+\frac{1}{1}=0$ $k+1=0$ 解得：$k=-1$。

故答案为：-1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义。函数在某点处的导数就是曲线在该点处切线的斜率。 2. 核心结论： - 切线平行于 $x$ 轴 $⟺f^{\prime }(x)=0$。 - 切线平行于 $y$ 轴 $⟺f^{\prime }(x)$ 不存在（趋于无穷）。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意 $\ln x$ 的导数公式 $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$。同时注意题目给出的点 $(1,k)$ 必须在曲线上，代入验证：$k=k\cdot 1+\ln 1=k+0=k$，符合。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：若要求切线方程，由于斜率为 0 且过点 $(1,-1)$，则方程为 $y=-1$。

结论推广：见详细解析。

方法推广：如果切线与直线 $ax+by+c=0$ 平行，则令 $f^{\prime }(x)=-\frac{a}{b}$ 即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-08 单-抛物线斜率