2020-北京卷-19 解-导数最值

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于导数法、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）19. 已知函数 $f(x)=12-x^2$。

（Ⅰ）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率等于 $-2$ 的切线方程；

（Ⅱ）设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t,f(t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S(t)$，求 $S(t)$ 的最小值。

🔍【思路分析】

破题导航

（Ⅰ）切线方程求解：

• 导数即斜率： 求出 $f^{\prime }(x)$，令 $f^{\prime }(x)=-2$ 求出切点横坐标 $x_0$。
• 点斜式： 得到切点坐标后，代入点斜式方程即可。

（Ⅱ）面积最值求解：

• 建立方程： 设切点坐标为 $(t,12-t^2)$，写出含参数 $t$ 的通用切线方程。
• 求截距： 分别令 $x=0$ 和 $y=0$，求出切线在坐标轴上的截距 $x_{\text{截}}$ 和 $y_{\text{截}}$。
• 构造面积函数： $S(t)=\frac{1}{2}|x_{\text{截}}\cdot y_{\text{截}}|$。
• 求导寻找最值： 由于函数具有奇偶对称性（面积只与 $|t|$ 有关），可以只研究 $t>0$ 的情况。通过 $S^{\prime }(t)=0$ 找到极值点。

✅【答案】

点击查看答案

$t^2=4⟹t=2$

✍【详细解析】

Abstract

对 $f(x)=12-x^2$ 求导得：$f^{\prime }(x)=-2x$。 令 $f^{\prime }(x)=-2⟹-2x=-2⟹x=1$。 当 $x=1$ 时，$f(1)=12-1^2=11$。 所以切点坐标为 $(1,11)$。 由点斜式得切线方程：$y-11=-2(x-1)$， 即：$2x+y-13=0$。

设切点为 $(t,12-t^2)$，切线斜率为 $k=f^{\prime }(t)=-2t$。 切线方程为：$y-(12-t^2)=-2t(x-t)$， 整理得：$y=-2tx+t^2+12$。

1. 求截距：

• 令 $x=0$，得 $y$ 轴截距 $y_A=t^2+12$。

• 令 $y=0$，得 $x$ 轴截距 $x_B=\frac{t^2+12}{2t}$。

2. 构建面积函数： 由于切线与坐标轴围成三角形，要求 $t\ne 0$ 且 $12-t^2\ne 0$（即切线不过原点且不平行于轴）。 $S(t)=\frac{1}{2}|x_B\cdot y_A|=\frac{1}{2}\cdot \left|\frac{t^2+12}{2t}\right|\cdot (t^2+12)=\frac{(t^2+12{)}^2}{4|t|}$ 考虑到 $S(t)$ 是偶函数，我们仅讨论 $t>0$ 的情况： $S(t)=\frac{t^4+24t^2+144}{4t}=\frac{1}{4}(t^3+24t+\frac{144}{t})$

3. 求导寻找最小值： $S^{\prime }(t)=\frac{1}{4}(3t^2+24-\frac{144}{t^2})=\frac{3(t^4+8t^2-48)}{4t^2}$ 令 $S^{\prime }(t)=0⟹t^4+8t^2-48=0$。 设 $u=t^2$，则 $u^2+8u-48=0⟹(u+12)(u-4)=0$。 因为 $u=t^2>0$，所以 $t^2=4⟹t=2$。

• 当 $0<t<2$ 时，$S^{\prime }(t)<0$，$S(t)$ 单调递减；
• 当 $t>2$ 时，$S^{\prime }(t)>0$，$S(t)$ 单调递增。 所以当 $t=2$ 时，$S(t)$ 取得最小值： $S(2)=\frac{(2^2+12{)}^2}{4\times 2}=\frac{16^2}{8}=\frac{256}{8}=32$

答：$S(t)$ 的最小值为 32。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 绝对值的处理： 在几何面积问题中，截距可能为负，公式中务必带上绝对值。在本题中，由于 $t^2+12>0$，绝对值主要影响分母的 $t$。
• 计算技巧： 在求导前，将分式拆解为多项式形式（如 $\frac{1}{4}(t^3+24t+\frac{144}{t})$）可以大大降低求导难度。
• 对称性观察： 意识到 $S(t)=S(-t)$ 能够简化一半的讨论过程，是北京卷解答题中常用的提速手段。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 反比例函数： 对于 $y=\frac{k}{x}$，其任意切线与坐标轴围成的三角形面积恒为 $2|k|$（定值）。
2. 二次函数： 本题展示了二次函数切线围成面积的动态变化。
3. 极值点的几何特征： 当 $t=2$ 时，切点坐标为 $(2,8)$。此时 $y$ 轴截距为 $16$，$x$ 轴截距为 $4$。你会发现此时切点正好是切线在坐标轴之间线段的某个比例分点，这在更高难度的压轴题中常作为结论使用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在
• 2013-广东卷理-10 填-切线斜率
• 2014-广东卷文-11 填-导数切线