2020-天津卷-02 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）2. 设 $a\in \mathbf{R}$，则 “$a>1$” 是 “$a^2>a$” 的（ ）

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确条件与结论：

• 条件 $P$：$a>1$
• 结论 $Q$：$a^2>a$

2. 求解结论 $Q$ 对应的范围： 解不等式 $a^2-a>0$，即 $a(a-1)>0$，得到 $Q$ 的解集。

3. 判定包含关系：

• 若 $P⟹Q$ 且 $Q/⟹P$，则为充分不必要条件。
• 从集合角度看：若 $P⊊Q$，则 $P$ 是 $Q$ 的充分不必要条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 解不等式 $a^2>a$： $a^2-a>0⟹a(a-1)>0$。 根据二次不等式解法（两根之外），解得： $a>1$ 或 $a<0$。

2. 对比范围：

• 条件 $P$ 对应的集合 $A=\{a\mid a>1\}$。

• 条件 $Q$ 对应的集合 $B=\{a\mid a>1\text{ 或 }a<0\}$。

3. 判定逻辑关系：

• 显然 $A⊊B$。
• 也就是说：如果 $a>1$，则一定能推出 $a^2>a$（充分性成立）。
• 反之，如果 $a^2>a$，则 $a$ 可能小于 0，不一定大于 1（必要性不成立）。

故 “$a>1$” 是 “$a^2>a$” 的充分不必要条件。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 判定口诀： * 小范围 $⟹$ 大范围：充分。
  • 大范围 $/⟹$ 小范围：不必要。
• 常见误区： 有些考生会忘记 $a<0$ 的情况，认为 $a^2>a$ 的解集只有 $a>1$，从而误选 C（充要条件）。在处理二次不等式时，务必注意负数区间的平方性质。

📖【试题探源与推广】

Tip

在天津卷中，这类题目的“坑”通常挖在：

1. 绝对值不等式： 如 $|a|>1$。
2. 函数性质： 如 $\sin a>0$。
3. 指数对数： 如 $\ln a>0$。

万能公式： 设条件 $P$ 对应的集合为 $A$，条件 $Q$ 对应的集合为 $B$：

• $A⊊B⟺P$ 是 $Q$ 的充分不必要条件。
• $B⊊A⟺P$ 是 $Q$ 的必要不充分条件。
• $A=B⟺P$ 是 $Q$ 的充要条件。
• $A⊈B$ 且 $B⊈A⟺P$ 是 $Q$ 的既不充分也不必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-山东卷理-08 单-充分条件与必要条件的判定
• 2007-浙江卷理-01 单-一元二次不等式解法
• 2008-湖北卷文-03 单-集合包含与充要条件