2007-浙江卷理-01 单-一元二次不等式解法

本题导读

本题主要考查常用逻辑用语中的充分条件与必要条件的判定。解题核心在于将条件对应的不等式转化为具体的解集，利用集合的包含关系对两者的因果逻辑做出严谨判定。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） “$x>1$” 是 “$x^2>x$” 的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 解不等式 $x^2>x$，求出其对应的解集范围；
2. 比对条件 “$x>1$” 的集合与所得解集之间的包含关系：若前者是后者的真子集，则为充分不必要条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解： 记 $p:x>1$，其对应解集为 $A=(1,+\infty )$。 记 $q:x^2>x$，变形为 $x(x-1)>0$，解得 $x>1$ 或 $x<0$，其对应解集为 $B=(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$。 显然，集合 $AB$。 根据集合包含关系与充要条件的对应规律：

• 因为 $A\subseteq B$，所以由 $x>1$ 必能推出 $x^2>x$，即充分性成立；
• 因为 $B⊈A$，所以由 $x^2>x$ 不能唯一推出 $x>1$（例如当 $x=-1$ 时 $x^2>x$ 成立，但 $x>1$ 不成立），即必要性不成立。 因此，“$x>1$” 是 “$x^2>x$” 的充分而不必要条件。 故选 (A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分不必要条件的逻辑判定，一元二次不等式的求解。
2. 核心方法：集合法。条件 $p$ 对应集合 $A$，条件 $q$ 对应集合 $B$。若 $AB$，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。
3. 避坑指南：解不等式 $x^2>x$ 时，切忌盲目在两边约去 $x$ 导致丢掉 $x<0$ 的区间。必须移项因式分解求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考常用逻辑用语板块的基础题，源自教材中集合与充要条件关系的常规课后习题。
2. 结论推广：通常，“小范围（真子集）”可以推出“大范围”，但“大范围”推不出“小范围”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性
• 2022-新高考II卷-12 多-不等式最值