2020-天津卷-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查相互独立事件的概率公式

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$。假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为$\underline{}$；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别事件性质： “互不影响”意味着事件 $A$（甲落入）与事件 $B$（乙落入）是相互独立事件。

2. “都落入”的逻辑： 即事件 $A$ 和 $B$ 同时发生（积事件 $AB$）。 公式：$P(AB)=P(A)\times P(B)$。

3. “至少一个落入”的逻辑： “至少一个”的对立面是“一个都没有”。

公式：$P(\text{至少一个})=1-P(\text{都不落入})$。 其中 $P(\text{都不落入})=P(\bar{A})\times P(\bar{B})$。

✅【答案】

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$\frac{1}{6}$；$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{1}{6}$；$\frac{2}{3}$

【解析过程】 设事件 $A$ 为“甲球落入盒子”，$P(A)=\frac{1}{2}$； 设事件 $B$ 为“乙球落入盒子”，$P(B)=\frac{1}{3}$。

1. 计算“都落入”的概率： 由于 $A,B$ 相互独立： $P(AB)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。

2. 计算“至少一个落入”的概率：

• 先求出各自“不落入”的概率： $P(\bar{A})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ $P(\bar{B})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
• 求出“都不落入”的概率： $P(\text{都不落入})=P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
• 根据对立事件求“至少一个”： $P(\text{至少一个})=1-P(\text{都不落入})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。

故答案为：$\frac{1}{6}$；$\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 关键词转化： * “都……” $\to$ 概率相乘。
  • “至少一个……” $\to$ $1-P(\text{一个都没有})$。
• 独立性前提： 只有在题目明确说明“互不影响”或情境明显独立（如投篮、射击、抽检复原）时，才能直接使用乘法公式。
• 易错点： 计算至少一个时，有些同学会用 $P(A)+P(B)$，这只有在 $A,B$ 是互斥事件（不能同时发生）时才成立，这里明显可以同时落入，所以不能直接加。

📖【试题探源与推广】

Tip

天津卷的概率题通常非常直观。

1. 古典概型： 结合排列组合（如从 $n$ 个球中抽 2 个）。
2. 独立重复试验（二项分布）： 某人射击 3 次，至少中 2 次的概率。
3. 条件概率（新高考重点）： 已知甲落入，求乙也落入的概率（若独立，则仍为 $1/3$）。

针对本题： 如果题目问“恰有一个落入的概率”，则是 $P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2004-广东卷理-06 单-相互独立事件的概率
• 2008-湖北卷文-14 填-独立事件至少一个
• 2008-湖南卷文-16 解-面试签约概率