2020-天津卷-17 解-线面角

本题导读

本题考查空间直角坐标系的建立。核心在于空间向量法 (坐标运算)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$C{C}_1\perp$ 平面 $ABC,AC\perp BC,AC=BC=2,C{C}_1=3$。点 $D,E$ 分别在棱 $A{A}_1$ 和棱 $C{C}_1$ 上，且 $AD=1,CE=2$，$M$ 为棱 $A_1{B}_1$ 的中点。

（1）求证：$C_{1}M\perp B_{1}D$；

（2）求二面角 $B-B_{1}E-D$ 的正弦值；

（3）求直线 $AB$ 与平面 $D{B}_{1}E$ 所成角的正弦值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系： 利用 $CA,CB,C{C}_1$ 两两垂直的特性，以 $C$ 为原点建立坐标系。

2. 第一问：证明垂直 写出点 $C_1,M,B_1,D$ 的坐标，求出向量 $\overrightarrow{C_{1}M}$ 和 $\overrightarrow{B_{1}D}$，校验其数量积是否为 0。

3. 第二问：二面角正弦值

• 求出平面 $B{B}_{1}E$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}$（由图可知 $x$ 轴即 $CA$ 方向即为法向量）。
• 求出平面 $D{B}_{1}E$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}$。
• 先求法向量夹角的余弦值，再转化成二面角的正弦值。

4. 第三问：线面角正弦值 利用公式 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}$ 进行计算。

✅【答案】

点击查看答案

平面 $B{B}_{1}E$ 的一个法向量可取为 $\overrightarrow{n_1}=(1,0,0)$

✍【详细解析】

Abstract

建立坐标系： 以 $C$ 为原点，$\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{C{C}_1}$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 根据已知条件得点坐标： $C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C_1(0,0,3),A_1(2,0,3),B_1(0,2,3)$ $D(2,0,1)$ (因为 $AD=1$), $E(0,0,2)$ (因为 $CE=2$), $M(1,1,3)$ (中点坐标公式).

$\overrightarrow{C_{1}M}=(1,1,0)$, $\overrightarrow{B_{1}D}=(2,-2,-2)$ $\overrightarrow{C_{1}M}\cdot \overrightarrow{B_{1}D}=1\times 2+1\times (-2)+0\times (-2)=2-2+0=0$ 所以 $\overrightarrow{C_{1}M}\perp \overrightarrow{B_{1}D}$，即 $C_{1}M\perp B_{1}D$。

1. 平面 $B{B}_{1}E$ 的法向量： 由图可知，$CA\perp$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$，故平面 $B{B}_{1}E$ 的一个法向量可取为 $\overrightarrow{n_1}=(1,0,0)$。
2. 平面 $D{B}_{1}E$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}$： $\overrightarrow{E{B}_1}=(0,2,1)$, $\overrightarrow{ED}=(2,0,-1)$ 设 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{E{B}_1}=2y+z=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{ED}=2x-z=0\end{array}$ 令 $x=1$, 得 $z=2,y=-1$。故 $\overrightarrow{n_2}=(1,-1,2)$。
3. 计算二面角： $\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{1\times 1+0\times (-1)+0\times 2}{1\times \sqrt{1^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$ 设二面角大小为 $\alpha$，则 $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{6}}$（或其相反数）。 则 $\sin \alpha =\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{6}}{)}^2}=\sqrt{\frac{5}{6}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$。

$\overrightarrow{AB}=(-2,2,0)$，由（Ⅱ）知平面 $D{B}_{1}E$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}=(1,-1,2)$。 设直线 $AB$ 与平面 $D{B}_{1}E$ 所成角为 $\theta$： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|-2-2+0|}{\sqrt{8}\cdot \sqrt{6}}=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 所以，直线与平面所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 建系的“点晴”之笔： 遇到直棱柱或有垂直关系的几何体，建系是最简单的暴力破解法。
• 二面角的正弦陷阱： 向量法求得的是法向量夹角的余弦值，题目要求的是二面角的正弦值，需利用 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 进行转换。
• 计算校验： 法向量的计算是整道题的命脉。求出 $(1,-1,2)$ 后，务必反向验算它与 $\overrightarrow{E{B}_1}$ 和 $\overrightarrow{ED}$ 的内积是否确实为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

在天津卷中，第一问通常可以用几何法（线面垂直的性质）快速完成，但第二、三问涉及具体数值计算，向量法的优势不可替代。 注意二面角的范围是 $[0,\pi ]$，正弦值在 $(0,\pi )$ 内恒为正，这使得求正弦值时不需要讨论二面角是锐角还是钝角，降低了思维难度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角