2020-天津卷-20 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于换元法 ($t=x_1/x_2$)、结论迁移法 (利用第I问结论)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）已知函数 $f(x)=x^3+k\ln x$ ($k\in \mathbf{R}$)，$f^{\prime }(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数。

（1）当 $k=6$ 时：

(i) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

(ii) 求函数 $g(x)=f(x)-f^{\prime }(x)+\frac{9}{x}$ 的单调区间和极值；

（2）当 $k\ge -3$ 时，求证：对任意的 $x_1,x_2\in [1,+\infty )$，且 $x_1>x_2$，有 $\frac{f^{\prime }(x_1)+f^{\prime }(x_2)}{2}>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问 (i)： 切线方程遵循“点、斜、式”。求出 $f(1)$ 与 $f^{\prime }(1)$ 即可。 2. 第一问 (ii)： 求导后，分子会出现高次多项式 $3x^4-6x^3+6x-3$。观察发现 $x=1$ 是根，利用因式分解（十字相乘或试除法）判定导数符号。

3. 第二问：核心在于“消元”与“转化”

• 结构识别： 待证式左边是导数的算术平均数，右边是平均变化率。这在数学上与函数的凹凸性（Jensen不等式）有关。
• 比值换元： 观察式子中含有 $x_1^3,x_2^3$ 及 $\ln (x_1/x_2)$，令 $t=x_1/x_2>1$ 是标准动作。
• 模型迁移： 整理后的 $t$ 函数会惊人地发现包含了第一问中 $g(t)$ 的结构。

✅【答案】

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(1) $a=1$

(2) 证明见解析

(3) $a$ 的取值范围为 $[2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

当 $k=6$ 时，$f(x)=x^3+6\ln x$，$f^{\prime }(x)=3x^2+\frac{6}{x}$。 (i) 切线方程： $f(1)=1,f^{\prime }(1)=9$。切线为 $y-1=9(x-1)⟹y=9x-8$。 (ii) $g(x)$ 的极值： $g(x)=x^3-3x^2+6\ln x+\frac{3}{x}$。 $g^{\prime }(x)=3x^2-6x+\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}=\frac{3(x^4-2x^3+2x-1)}{x^2}=\frac{3(x-1{)}^3(x+1)}{x^2}$。 当 $x\in (0,1)$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)\searrow$；当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)\nearrow$。 故 $g(x)$ 的减区间为 $(0,1)$，增区间为 $(1,+\infty )$。 极小值为 $g(1)=1$，无极大值。

要证 $\frac{f^{\prime }(x_1)+f^{\prime }(x_2)}{2}>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$， 等价于 $(x_1-x_2)(f^{\prime }(x_1)+f^{\prime }(x_2))-2(f(x_1)-f(x_2))>0$。 代入解析式： 左边 $=(x_1-x_2)(3x_1^2+\frac{k}{x_1}+3x_2^2+\frac{k}{x_2})-2(x_1^3-x_2^3+k\ln \frac{x_1}{x_2})$ $=x_1^3-x_2^3-3x_1^2{x}_2+3x_1{x}_2^2+k(\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}-2\ln \frac{x_1}{x_2})$ $=x_2^3(t-1{)}^3+k(t-\frac{1}{t}-2\ln t)$，其中 $t=\frac{x_1}{x_2}>1$。

1. 设 $h(t)=t-\frac{1}{t}-2\ln t$，易证 $t>1$ 时 $h(t)>h(1)=0$。
2. 因为 $x_2\ge 1$ 且 $k\ge -3$， 左边 $\ge 1^3(t-1{)}^3-3(t-\frac{1}{t}-2\ln t)$ $=t^3-3t^2+3t-1-3t+\frac{3}{t}+6\ln t=t^3-3t^2+6\ln t+\frac{3}{t}-1$。
3. 由（Ⅰ）知 $g(t)=t^3-3t^2+6\ln t+\frac{3}{t}>1$ (当 $t>1$ 时)。 所以 $g(t)-1>0$。不等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 因式分解技巧： 在压轴题中，导数分子若为多项式，通常含有 $(x-1)$ 或 $(x-a)$ 等简单因式，这是判定单调性的关键。
• 逻辑阶梯： 天津卷的 (I) 问往往是 (II) 问的“工具箱”。如果 (II) 问整理出的式子与 (I) 问无关，大概率是变形方向错了。

📖【试题探源与推广】

Tip

在天津卷（及全国卷）中，遇到 $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$ 与 $\frac{f^{\prime }(x_1)+f^{\prime }(x_2)}{2}$ 比较大小，这类题型统称为**“割线斜率与切线斜率均值”**的比较。

• 如果函数 $f(x)$ 的二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)$ 单调，这类不等式通常是恒成立的。
• 核心技巧： 凡是出现 $\ln (x_1/x_2)$ 或 $x_1/x_2$ 结构的，比值换元是不二法门。

本题（II）问中用到了 $k\ge -3$ 的放缩。在处理更难的导数题时，以下结论常作为构造辅助函数的灵感：

• $\ln x\le x-1$
• $e^x\ge x+1$
• $x-\frac{1}{x}-2\ln x>0$ (本题所用，反映了对数函数的增长特征)

天津卷导数大题非常强调代数运算的硬实力。

• 建议： 平时训练时，不要只看思路，务必把诸如 $g^{\prime }(x)=\frac{3(x-1{)}^3(x+1)}{x^2}$ 这样的因式分解亲手算出来。压轴题的门槛往往不在于“想不到”，而在于“算不对”。

本试卷所有题目已按照 Obsidian 知识库格式录入完毕。

本卷核心价值：

• 第9题： 掌握含参绝对值函数与分段函数的图象分析。
• 第15题： 熟练运用“极化恒等式”或坐标法处理向量最值。
• 第19题： 攻克分组求和中的错位相减与裂项相消计算。
• 第20题： 领悟双变量不等式向单变量函数的转化逻辑。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷理-19 解-对数型无理不等式
• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数