2020-新高考I卷-08 单-函数图象平移

本题导读

本题考查奇函数的定义与性质 = -f

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）8. 若定义在 $\mathbf{R}$ 的奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 单调递减，且 $f(2)=0$，则满足 $xf(x-1)\ge 0$ 的 $x$ 的取值范围是（ ）

A. $[-1,1]\cup [3,+\infty )$　　　　　　　　　　　　B. $[-3,-1]\cup [0,1]$

C. $[-1,0]\cup [1,+\infty )$　　　　　　　　　　　　D. $[-1,0]\cup [1,3]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 补全函数性质：

• 零点： 奇函数必有 $f(0)=0$。已知 $f(2)=0$，根据奇偶性得 $f(-2)=-f(2)=0$。

• 单调性： 奇函数在对称区间上的单调性相同。已知在 $(-\infty ,0)$ 递减，则在 $(0,+\infty )$ 也递减。

2. 判定 $f(x)$ 的正负区间： 结合单调性与零点：

• 当 $x\in (-\infty ,-2)$ 时，$f(x)>f(-2)=0$；
• 当 $x\in (-2,0)$ 时，$f(x)<f(0)=0$；
• 当 $x\in (0,2)$ 时，$f(x)>f(2)=0$；
• 当 $x\in (2,+\infty )$ 时，$f(x)<f(2)=0$。

3. 解不等式 $xf(x-1)\ge 0$： 分为三种情况讨论：

• 情况 1：$x>0$ 且 $f(x-1)\ge 0$；
• 情况 2：$x<0$ 且 $f(x-1)\le 0$；
• 情况 3：$x=0$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 分析 $f(x-1)$ 的正负： 由上述分析知，$f(t)\ge 0$ 的解集为 $t\in (-\infty ,-2]\cup [0,2]$。 $f(t)\le 0$ 的解集为 $t\in [-2,0]\cup [2,+\infty )$。

2. 分类讨论 $xf(x-1)\ge 0$：

• 当 $x>0$ 时： 需 $f(x-1)\ge 0$。 则 $x-1\in (-\infty ,-2]\cup [0,2]$。 解得 $x\le -1$（与 $x>0$ 冲突，舍）或 $0\le x-1\le 2⟹1\le x\le 3$。 故 $x\in [1,3]$。

• 当 $x<0$ 时： 需 $f(x-1)\le 0$。 则 $x-1\in [-2,0]\cup [2,+\infty )$。 解得 $-2\le x-1\le 0⟹-1\le x\le 1$。 结合 $x<0$，得 $x\in [-1,0)$。 或 $x-1\ge 2⟹x\ge 3$（与 $x<0$ 冲突，舍）。

• 当 $x=0$ 时： $0\cdot f(-1)=0\ge 0$，成立。

3. 合并解集： $x\in [-1,0]\cup [1,3]$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 奇函数的“同性”： 奇函数在 $(-\infty ,0)$ 和 $(0,+\infty )$ 上的单调性是一致的（同增同减）。这与偶函数截然相反。
• 穿根法辅助： 确定了 $f(x)$ 的零点 $-2,0,2$ 后，可以画一条从左上往右下的波浪线（因为递减），正负区间一目了然。
• 平移细节： $f(x-1)$ 的解集就是将 $f(x)$ 的解集向右平移 1 个单位。

📖【试题探源与推广】

Tip

新高考中经常考查 $f(x)\cdot g(x)>0$ 的形式。

• 变式 1： 若题目给出 $f(x)/x\ge 0$，处理方式与乘法相同。
• 变式 2： 结合导数。若给出 $f^{\prime }(x)<0$，实际上就是告诉了单调性。

解题逻辑：

1. 画出 $f(x)$ 简图（过 $-2,0,2$ 递减的折线）。
2. 将图整体向右挪 1 格，得到 $f(x-1)$ 过 $-1,1,3$。
3. 观察 $x$ 与 $f(x-1)$ 同号的区间：

• $x$ 为正时，$f(x-1)$ 也得正，在 $[1,3]$ 段；
• $x$ 为负时，$f(x-1)$ 也得负，在 $[-1,0]$ 段。 拼接得出 D。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1984-全国卷理-12
• 1987-全国卷理-06 单-三角函数的图象变换
• 1990-全国卷理-15 单-函数图象的变换