2020-新高考I卷-13 填-抛物线焦点弦

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与焦点坐标，以及直线与抛物线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）13. 斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，则 $|AB|=$ ________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取基本量： 抛物线 $y^2=4x$ 中，$2p=4⟹p=2$。 焦点 $F$ 坐标为 $(1,0)$，准线方程为 $x=-1$。

2. 建立直线方程： 直线过点 $(1,0)$ 且斜率 $k=\sqrt{3}$，方程为 $y=\sqrt{3}(x-1)$。

3. 计算弦长（核心技巧）：

• 方法一（定义法）： 对于抛物线 $y^2=2px$，过焦点的弦长 $|AB|=x_1+x_2+p$。 只需联立方程求出 $x_1+x_2$ 即可。
• 方法二（通用公式）： $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$，其中 $\theta$ 是直线与轴的夹角。 已知 $k=\sqrt{3}⟹\theta =60^{\circ }$。

✅【答案】

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$\frac{16}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{16}{3}$

【解析过程】

1. 联立方程： 将 $y=\sqrt{3}(x-1)$ 代入 $y^2=4x$ 得： $3(x-1{)}^2=4x⟹3(x^2-2x+1)=4x$ 整理得：$3x^2-10x+3=0$。

2. 利用韦达定理： 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=\frac{10}{3}$。

3. 应用焦半径公式： 根据抛物线定义，$|AF|=x_1+\frac{p}{2}=x_1+1$，$|BF|=x_2+1$。 则 $|AB|=|AF|+|BF|=x_1+x_2+2$。 代入得：$|AB|=\frac{10}{3}+2=\frac{16}{3}$。

故答案为：$\frac{16}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义法优于公式法： 在抛物线中，利用 $|AB|=x_1+x_2+p$ 可以避开复杂的根号运算，是处理焦点弦的首选。
• 几何意义： 抛物线上一点到焦点的距离，恒等于它到准线的距离。在填空题中，画个草图辅助理解准线距离非常有帮助。
• 易错点： 联立方程展开时，容易漏掉系数（如 $3x^2$ 变成 $x^2$），或者将 $p$ 与 $p/2$ 混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

对于抛物线 $y^2=2px$，过焦点的直线倾斜角为 $\theta$，其弦长 $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$。

• 本题中 $2p=4$，倾斜角 $\theta =60^{\circ }$（因为 $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$）。
• $|AB|=\frac{4}{{\sin }^{2}60^{\circ }}=\frac{4}{(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}=\frac{4}{\frac{3}{4}}=\frac{16}{3}$。 这种方法在选择填空题中极快。

如果你遇到倾斜角为 $90^{\circ }$ 的情况（通径）： $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^{2}90^{\circ }}=2p=4$。符合定义！

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-06 单-抛物线的标准方程与焦点坐标
• 2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-福建卷理-18 解-抛物线的标准方程与定义