2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质

本题导读

本题考查抛物线，以及抛物线的简单几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 已知抛物线 $C:y^2=8x$ 的焦点为 $F$，点 $M(-2,2)$，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，若 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$，则 $k=$()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定焦点坐标：由 $y^2=2px=8x$ 知 $2p=8$，$p=4$，焦点 $F(\frac{p}{2},0)=(2,0)$。
2. 构建直线方程：设过 $F(2,0)$ 且斜率为 $k$ 的直线方程为 $y=k(x-2)$。
3. 联立方程组：将直线方程代入抛物线方程，整理成关于 $x$（或 $y$）的一元二次方程。
4. 应用韦达定理：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，写出 $x_1+x_2,x_1{x}_2$ 或 $y_1+y_2,y_1{y}_2$。
5. 向量运算：表示出 $\overrightarrow{MA}=(x_1+2,y_1-2)$，$\overrightarrow{MB}=(x_2+2,y_2-2)$。
6. 求解斜率：利用 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=(x_1+2)(x_2+2)+(y_1-2)(y_2-2)=0$ 建立关于 $k$ 的方程。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：联立与韦达定理 抛物线 $C:y^2=8x$ 的焦点 $F(2,0)$。设直线 $AB:x=\frac{y}{k}+2$。 代入 $y^2=8x$ 得：$y^2=8(\frac{y}{k}+2)$，即 $y^2-\frac{8}{k}y-16=0$。 根据韦达定理： $y_1+y_2=\frac{8}{k}$，$y_1{y}_2=-16$。 同时由 $x=\frac{y^2}{8}$ 可得： $x_1{x}_2=\frac{(y_1{y}_2{)}^2}{64}=\frac{(-16{)}^2}{64}=4$ $x_1+x_2=\frac{y_1^2+y_2^2}{8}=\frac{(y_1+y_2{)}^2-2y_1{y}_2}{8}=\frac{\frac{64}{k^2}+32}{8}=\frac{8}{k^2}+4$

第二步：利用向量数量积求解 已知 $M(-2,2)$，则 $\overrightarrow{MA}=(x_1+2,y_1-2)$，$\overrightarrow{MB}=(x_2+2,y_2-2)$。 由 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$ 得： $(x_1+2)(x_2+2)+(y_1-2)(y_2-2)=0$ $x_1{x}_2+2(x_1+x_2)+4+y_1{y}_2-2(y_1+y_2)+4=0$ 代入韦达定理结果： $4+2(\frac{8}{k^2}+4)+4-16-2(\frac{8}{k})+4=0$ $4+\frac{16}{k^2}+8+4-16-\frac{16}{k}+4=0$ $\frac{16}{k^2}-\frac{16}{k}+4=0$

第三步：解方程 两边同除以 $4$： $\frac{4}{k^2}-\frac{4}{k}+1=0$ $(\frac{2}{k}-1{)}^2=0$ $\frac{2}{k}=1⟹k=2$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与抛物线的综合计算，向量坐标运算。

核心方法：“联立方程 + 韦达定理”。这是解析几何处理交点问题的通法。

避坑指南：- 在联立时，若斜率 $k$ 在分母位置，需注意 $k\ne 0$（由图可知 $k\ne 0$）。 - 计算数量积展开式时，注意符号和系数，尤其是涉及 $M$ 点坐标的加减。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的焦点弦长公式、向量垂直的几何意义。

结论推广：若 $M$ 在准线上，过焦点的弦 $AB$ 满足 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ 可能存在特殊定值。

方法推广：涉及垂直关系，优先考虑向量数量积为 $0$ 或斜率乘积为 $-1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2026-天津卷-15 填-抛物线的性质
• 2024-北京卷-11 填-抛物线的性质
• 2026-新高考I卷-05 单-抛物线几何性质