2020-新高考I卷-14 填-等差数列求和

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及公共项数列的性质。

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）14. 将数列 $\{2n-1\}$ 与 $\{3n-2\}$ 的公共项从小到大排列得到数列 $\{a_n\}$，则 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 ________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定新数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d$：

• 数列 $A:\{2n-1\}$ 的公差 $d_1=2$。
• 数列 $B:\{3n-2\}$ 的公差 $d_2=3$。 两个等差数列公共项构成的数列，其公差 $d$ 是原两个数列公差的最小公倍数。 即 $d=[d_1,d_2]=[2,3]=6$。

2. 确定新数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1$： 列举两个数列的前几项，寻找第一个重复的数字：

• 数列 $A$：1, 3, 5, 7, 9, …
• 数列 $B$：1, 4, 7, 10, … 显然，第一个公共项是 1（即 $a_1=1$）。

3. 计算前 $n$ 项和 $S_n$： 利用等差数列求和公式：$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$。

✅【答案】

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$3n^2-2n$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $3n^2-2n$

【解析过程】

1. 分析原数列：

• 设 $b_k=2k-1$，公差 $d_B=2$；
• 设 $c_m=3m-2$，公差 $d_C=3$。

2. 确定新数列 $\{a_n\}$ 的基本量：

• 首项 $a_1$：当 $k=1,m=1$ 时，$b_1=1,c_1=1$，故 $a_1=1$。
• 公差 $d$：$d$ 必须同时是 2 和 3 的倍数，故 $d=\text{lcm}(2,3)=6$。

3. 写出通项公式（可选）： $a_n=a_1+(n-1)d=1+6(n-1)=6n-5$。
4. 计算前 $n$ 项和 $S_n$： $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+6n-5)}{2}$ $S_n=\frac{n(6n-4)}{2}=3n^2-2n$

故答案为：$3n^2-2n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 重要结论： 若两个等差数列的公差分别为 $d_1,d_2$，则它们的公共项数列公差为 $d=\text{lcm}(d_1,d_2)$。
• 找首项的方法： 如果首项不明显，可以列举较短公差数列的项，去匹配较长公差数列的通项公式。
• 公式选择： 求和时，已知首项和公差用 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 往往比先求通项再求和更直接。

📖【试题探源与推广】

Tip

设公共项为 $X$，则有： $X=a_1+k\cdot d_1$ $X=b_1+m\cdot d_2$ 这意味着 $X$ 的增加量必须既是 $d_1$ 的倍数，又是 $d_2$ 的倍数。为了得到“每一个”公共项，我们需要增加最小的那个倍数，即 $\text{lcm}(d_1,d_2)$。

快速求解： 看到公差 2 和 3，直接定新公差 6。看到首项都是 1，直接定 $a_1=1$。求和公式一填，口算 $3n^2-2n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和