2020-新高考I卷-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于边化角 / 角化边、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）在 ① $ac=\sqrt{3}$，② $c\sin A=3$，③ $c=\sqrt{3}b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中。若问题中的三角形存在，求 $c$ 的值；若不存在，说明理由。 问题： 是否存在 $△ABC$，其内角 $A,B,C$ 对边分别为 $a,b,c$，且 $\sin A=\sqrt{3}\sin B$，$C=\frac{\pi }{6}$，________？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 预处理已知条件：

• 由正弦定理： $\sin A=\sqrt{3}\sin B⟹a=\sqrt{3}b$。
• 由内角和性质： $A+B=\pi -C=\frac{5\pi }{6}$。
• 求角（解法一）： 利用 $\sin A=\sqrt{3}\sin (\frac{5\pi }{6}-A)$ 展开求出 $A$。
• 求边（解法二）： 设 $b=m,a=\sqrt{3}m$，利用余弦定理将 $c$ 也用 $m$ 表示。

✅【答案】

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$c=b$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析共有条件 由 $\sin A=\sqrt{3}\sin B$ 得 $a=\sqrt{3}b$。 在 $△ABC$ 中，根据余弦定理： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=(\sqrt{3}b{)}^2+b^2-2(\sqrt{3}b)b\cdot \cos \frac{\pi }{6}$ $c^2=3b^2+b^2-2\sqrt{3}{b}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4b^2-3b^2=b^2$。 因为 $b,c>0$，所以 $c=b$。 由此推得：$a=\sqrt{3}c,a=\sqrt{3}b$。 此时三角形的三个角：因为 $c=b$，所以 $C=B=\frac{\pi }{6}$。 则 $A=\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$（120°）。

第二步：分条件解答

选择条件 ①：$ac=\sqrt{3}$

1. 由前述分析知 $a=\sqrt{3}c$。

2. 代入条件 ①：$(\sqrt{3}c)\cdot c=\sqrt{3}⟹\sqrt{3}{c}^2=\sqrt{3}$。

3. 解得 $c^2=1$，由于 $c>0$，故 $c=1$。 结论： 三角形存在，$c=1$。

选择条件 ②：$c\sin A=3$

1. 由前述分析知 $A=\frac{2\pi }{3}$。

2. 代入条件 ②：$c\cdot \sin \frac{2\pi }{3}=3⟹c\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3$。

3. 解得 $c=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$。 结论： 三角形存在，$c=2\sqrt{3}$。

选择条件 ③：$c=\sqrt{3}b$

1. 由共有条件推导可知 $c=b$。
2. 若条件 ③ $c=\sqrt{3}b$ 成立，则有 $b=\sqrt{3}b⟹b=0$。
3. 这与三角形边长 $b>0$ 矛盾。 结论： 满足条件 ③ 的三角形不存在。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 边角转换的灵活性： 拿到题先看是“角多”还是“边多”。本题 $\sin A=\sqrt{3}\sin B$ 既可以看作 $a=\sqrt{3}b$，也可以配合 $A+B=150^{\circ }$ 解出具体的角度。
• 逻辑严谨性： 开放题的难点在于判定“不存在”。在本题中，通过共有条件推导出 $c=b$ 是关键，它直接判定了条件 ③ 的死刑。
• 计算细节： $\cos \frac{\pi }{6}$ 与 $\sin \frac{2\pi }{3}$ 的数值不能记混。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 多解情况： 通常出现在“已知两边及其中一边的对角”（SSA）时，需要利用 $a>b\sin A$ 等性质判定。
2. 结构性矛盾： 如本题选择 ③，推导出的结论与已知条件冲突。
3. 策略建议： 在考试中，如果三个条件看起来难度相当，优先选择含等式的（①或②），因为证明“不存在”往往比计算“存在”需要更严谨的文字表述。

快速求解： 第一步定乾坤：$a=\sqrt{3}b$。 第二步余弦定理：$c^2=3b^2+b^2-3b^2=b^2⟹c=b$。 此时：选①得 $c^2=1$；选②得 $c=2\sqrt{3}$；选③得 $1=\sqrt{3}$（不可能）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2025-天津卷-16 解-解三角形综合
• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2009-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形