2009-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形

本题导读

考查解三角形。$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 且三角形为锐角三角形，$C=\frac{\pi }{3}$；$ab=6$，$(a+b{)}^2=25$，$a+b=5$。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 在锐角 $△ABC$ 中，$a$、$b$、$c$ 分别为角 $A$、$B$、$C$ 所对的边，且 $\sqrt{3}a=2c\sin A$.

(1)确定角 $C$ 的大小；

(2)若 $c=\sqrt{7}$，且 $△ABC$ 的面积为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求 $a+b$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 由正弦定理 $\sqrt{3}\sin A=2\sin C\sin A$，$\sin A\ne 0$，得 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 三角形为锐角三角形，$C=\frac{\pi }{3}$。
3. (2) $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{\sqrt{3}}{4}ab=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，得 $ab=6$。
4. 余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=a^2+b^2-ab=7$。
5. $(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab=7+ab+2ab=7+18=25$，$a+b=5$。

✅【答案】

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(1) $C=\frac{\pi }{3}$；(2)$a+b=5$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $\sqrt{3}a=2c\sin A$ 及正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，得 $\sqrt{3}\sin A=2\sin C\sin A$。 因为 $A$ 是三角形内角，$\sin A\ne 0$，所以 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 又 $△ABC$ 为锐角三角形，故 $C=\frac{\pi }{3}$。 （2）$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{\sqrt{3}}{4}ab=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，得 $ab=6$。 由余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=a^2+b^2-ab$，即 $a^2+b^2-ab=7$。 于是 $(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab=(7+ab)+2ab=7+3ab=7+18=25$， 所以 $a+b=5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与余弦定理

核心方法：边角互化求 $C$；面积与余弦定理联手出 $(a+b{)}^2$

避坑指南：$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 在锐角三角形中只取 $\frac{\pi }{3}$；$ab=6$，$a^2+b^2-ab=7$，$(a+b{)}^2=7+3ab=25$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“锐角三角形”是取舍角的依据，$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 本身有两解。

结论推广：求 $a+b$ 不必分别求 $a$，$b$：把 $(a+b{)}^2$ 凑成已知量的组合。

方法推广：面积公式 $\frac{1}{2}ab\sin C$ 与余弦定理共享 $\cos C$，两式联立是标准动作。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2009-天津卷文-17 解-正余弦定理二倍角
• 2009-山东卷文-17 解-三角变换与解三角形
• 2009-北京卷文-15 解-二倍角最值