2020-新高考I卷-20 解-立几综合

本题导读

本题考查线面平行的性质与判定。核心在于性质定理推导 (l // AD)、坐标向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）如图，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为正方形，$PD\perp$ 底面 $ABCD$。设平面 $PAD$ 与平面 $PBC$ 的交线为 $l$。

（1）证明：$l\perp$ 平面 $PDC$；

（2）已知 $PD=AD=1$，$Q$ 为 $l$ 上的点，求 $PB$ 与平面 $QCD$ 所成角的正弦值的最大值。

🔍【思路分析】

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1. 第一问：线面垂直的判定

• 核心逻辑： 要证 $l\perp$ 平面 $PDC$，只需证 $l$ 垂直于平面内两条相交直线（如 $CD$ 和 $PD$）。

• 关键点： 确定 $l$ 的方向。由于 $AD//BC$，根据线面平行的性质定理，$l$ 必然平行于 $AD$。

2. 第二问：线面角的最值

• 建系： 以 $D$ 为原点，$DA,DC,DP$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。

• 参数化： 线 $l$ 经过点 $P(0,0,1)$ 且方向向量为 $(1,0,0)$，故可设 $Q(m,0,1)$。

• 计算： 求出平面 $QCD$ 的法向量 $\vec{n}$，利用 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{PB}|\cdot |\vec{n}|}$ 构建关于 $m$ 的函数。

• 求最值： 利用基本不等式 $\frac{2m}{m^2+1}\le 1$ 求解。

✅【答案】

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${\sin }^2\theta$ 的最大值为 $\frac{1}{3}(1+1)=\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：

1. 因为底面 $ABCD$ 为正方形，所以 $AD//BC$。

2. 又 $AD\not\subset$ 平面 $PBC$，$BC\subset$ 平面 $PBC$，所以 $AD//$ 平面 $PBC$。

3. 因为 $AD\subset$ 平面 $PAD$，平面 $PAD\cap$ 平面 $PBC=l$，

根据线面平行的性质定理，可得 $AD//l$。

4. 因为 $PD\perp$ 底面 $ABCD$，$AD\subset$ 底面 $ABCD$，所以 $PD\perp AD$，从而 $l\perp PD$。

5. 因为底面为正方形，所以 $AD\perp CD$，从而 $l\perp CD$。

6. 又 $PD\cap CD=D$，且 $PD,CD\subset$ 平面 $PDC$，

所以 $l\perp$ 平面 $PDC$。

（2）解：

依题意，以 $D$ 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 $D-xyz$。

则各点坐标为：$D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1)$。

因为 $l//AD$ 且过点 $P$，所以 $l$ 上的点 $Q$ 的纵坐标为 $0$，竖坐标为 $1$。

设 $Q(m,0,1)$。

则 $\overrightarrow{DC}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{DQ}=(m,0,1)$，$\overrightarrow{PB}=(1,1,-1)$。

设平面 $QCD$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则：

$\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{DC}=y=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{DQ}=mx+z=0\end{array}$

令 $x=1$，得 $\vec{n}=(1,0,-m)$。

设 $PB$ 与平面 $QCD$ 所成的角为 $\theta$，则：

$\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{PB}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|1+0+m|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}\cdot \sqrt{1^2+0^2+(-m{)}^2}}$

$\sin \theta =\frac{|m+1|}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{m^2+1}}$

为了求最大值，将式子平方并利用基本不等式：

${\sin }^2\theta =\frac{(m+1{)}^2}{3(m^2+1)}=\frac{m^2+2m+1}{3(m^2+1)}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{2m}{m^2+1}\right)$

根据基本不等式，当 $m>0$ 时，$\frac{2m}{m^2+1}\le 1$（当且仅当 $m=1$ 时等号成立）。

当 $m\le 0$ 时，$\frac{2m}{m^2+1}\le 0$。

所以 ${\sin }^2\theta$ 的最大值为 $\frac{1}{3}(1+1)=\frac{2}{3}$。

故 $\sin \theta$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 线面平行的性质定理： 这是解决“寻找交线位置”或“证明交线平行”最常用的工具，必须熟练掌握“线线平行 $\leftrightarrow$ 线面平行”的转化。

• 向量法求角： 直线与平面角的正弦值对应的是向量夹角余弦值的绝对值。

• 代数处理技巧： 在第二问最后，将分子的 $(m+1{)}^2$ 展开并拆项，是利用基本不等式的标准处理手段。如果想不到，也可以使用导数法求函数 $f(m)=\frac{(m+1{)}^2}{m^2+1}$ 的最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

此类题目的通用流程：

1. 坐标化： 建立坐标系，将动点用参数 $m$ 表示。

2. 函数化： 根据题目要求（角、距离、面积等）建立关于 $m$ 的目标函数。

3. 最值化：

• 若是二次比二次，考虑分离常数或基本不等式。

• 若是更复杂的结构，考虑求导。

• 关注参数 $m$ 的取值范围（例如 $Q$ 是否在棱上，若在棱 $PA$ 上，则 $m\in [0,1]$）。本题未限制 $Q$ 在线段上，故 $m\in \mathbf{R}$。

快速求解： 第一问看到 $AD//BC$，秒定 $l//AD$。第二问建系后，关键是处理出 $\sqrt{1+\frac{2m}{m^2+1}}$ 这个结构，看到这个结构，最大值基本就是 $\sqrt{1+1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行

• 1997-全国卷理-19 填-空间线面关系的命题判定

• 2005-全国卷II理-20 解-空间直角坐标系