2020-新高考II卷-03 单-中点公式

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及中点公式。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）若 $D$ 为 $△ABC$ 的边 $AB$ 的中点, 则 $\overrightarrow{CB}=$ ( )

A. $2\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$　　　B. $2\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CD}$　　　C. $2\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}$　　　D. $2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据向量减法法则，将 $\overrightarrow{CB}$ 转化为以起点 $C$ 表示的向量差：$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ 或利用中点关系。
2. 因为 $D$ 是 $AB$ 中点，所以 $\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$，从而推导得出 $\overrightarrow{CB}$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $D$ 为 $AB$ 的中点，根据向量的中点公式，有： $\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$。 两边同乘以 2 得： $2\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$。 移项变形可得： $\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$。 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量线性运算、中点向量公式。
2. 核心方法：熟练运用三角形法则及中点向量的中位线/加权平均性质。
3. 避坑指南：注意向量的方向和正负号，避免向量加减法首尾相接顺序出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：平面向量几何意义的基础题型。
2. 结论推广：三角形中线向量公式 $\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$ 是处理向量中点问题的核心工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-08 单-向量中点
• 2009-山东卷理-07
• 2009-湖南卷文-04 单-中点向量和