2018-全国卷I文-07 单-向量线性运算

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及向量的中点公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）在 $△ABC$ 中，$AD$ 为 $BC$ 边上的中线，$E$ 为 $AD$ 的中点，则 $\overrightarrow{EB}=$ ()

A. $\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

C. $\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以点 $A$ 为起点，将目标向量 $\overrightarrow{EB}$ 用 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AD}$（或 $\overrightarrow{AC}$）表示。
2. 利用 $D$ 是 $BC$ 中点，将 $\overrightarrow{AD}$ 表示为 $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$。
3. 利用 $E$ 是 $AD$ 中点，将 $\overrightarrow{EB}$ 进一步化简。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $E$ 是 $AD$ 的中点， 所以 $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。 因为 $D$ 是 $BC$ 边的中点， 所以 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$。 将 $\overrightarrow{AD}$ 代入 $\overrightarrow{EB}$ 中： $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\right]=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ 故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量线性运算法则、三角形中线性质。
2. 核心方法：向量减法法则与中点向量公式。
3. 避坑指南：向量运算时注意起点一致化（通常以三角形顶点为共同起点），严防方向写反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考平面向量基础常考题。
2. 结论推广: 三角形中线交点及分点向量通常都可以通过统一的基底向量进行线性表示。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-08 单-向量中点
• 2014-福建卷文-10 单-平面向量
• 2020-新高考II卷-03 单-中点公式