2020-新高考II卷-05 单-集合容斥

本题导读

本题考查集合的交集与并集，以及容斥原理。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）某中学的学生积极参加体育锻炼, 其中有 $96\%$ 的学生喜欢足球或游泳, $60\%$ 的学生喜欢足球, $82\%$ 的学生喜欢游泳, 则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该学生总数的比例是 ( )

A. $62\%$　　　　　　B. $56\%$　　　　　　C. $46\%$　　　　　　D. $42\%$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用集合交并集公式：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。
2. 将已知数据代入公式求解交集对应的比例。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设喜欢足球的学生集合为 $A$，喜欢游泳的学生集合为 $B$。 由题意知：$P(A\cup B)=96\%$, $P(A)=60\%$, $P(B)=82\%$。 根据容斥原理： $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$ $=60\%+82\%-96\%$ $=142\%-96\%=46\%$。 故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：容斥原理。
2. 核心方法：$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$。
3. 避坑指南：注意概率或百分比计算时的加减法准确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：集合计数与概率基础应用题。
2. 结论推广：两集合交并集问题可直接借助韦恩图或容斥公式求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-20 解-集合与组合计数
• 2008-重庆卷理-09
• 2009-陕西卷理-14