2020-新高考II卷-11 多-三角函数

本题导读

本题考查三角函数图象的特征。核心在于待定系数法、诱导公式转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）11. 下图是函数 $y=\sin (\omega x+\varphi )$ 的部分图像，则 $\sin (\omega x+\varphi )=$（ ）

A. $\sin (x+\frac{\pi }{3})$　　　B. $\sin (\frac{\pi }{3}-2x)$　　　C. $\cos (2x+\frac{\pi }{6})$　　　D. $\cos (\frac{5\pi }{6}-2x)$

🔍【思路分析】

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1. 确定 $\omega$ (周期)： 观察图象，从 $x=\frac{\pi }{6}$（零点）到 $x=\frac{2\pi }{3}$（下一个零点）刚好是半个周期。 $\frac{T}{2}=\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}⟹T=\pi$。 由 $\omega =\frac{2\pi }{T}$ 得 $\omega =2$。由此可直接排除 A。

2. 确定 $\varphi$ (初相)： 利用最低点坐标。图象在 $\frac{\pi }{6}$ 和 $\frac{2\pi }{3}$ 之间的中点取得最小值。 $x_{min}=\frac{\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}}{2}=\frac{5\pi }{12}$。 此时 $y=-1$，代入 $2\cdot \frac{5\pi }{12}+\varphi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi$。 解得 $\varphi =\frac{3\pi }{2}-\frac{5\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$。 所以基本解析式为 $y=\sin (2x+\frac{2\pi }{3})$。

3. 形式转化 (多选的关键)： 利用诱导公式 $\sin \theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )$ 或 $\sin \theta =\cos (\theta -\frac{\pi }{2})$ 等进行变换，匹配选项。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B, C

【解析过程】

1. 求基础解析式： 由思路分析可知 $\omega =2,\varphi =\frac{2\pi }{3}$。 $f(x)=\sin (2x+\frac{2\pi }{3})$。

2. 验证 B 选项： $\sin (\frac{\pi }{3}-2x)=-\sin (2x-\frac{\pi }{3})$ 根据诱导公式 $\sin \alpha =-\sin (\alpha -\pi )$： $-\sin (2x-\frac{\pi }{3})=\sin (2x-\frac{\pi }{3}+\pi )=\sin (2x+\frac{2\pi }{3})$。 B 正确。

3. 验证 C 选项： $\cos (2x+\frac{\pi }{6})=\sin [\frac{\pi }{2}+(2x+\frac{\pi }{6})]=\sin (2x+\frac{2\pi }{3})$。 C 正确。

4. 验证 D 选项： $\cos (\frac{5\pi }{6}-2x)=\cos (2x-\frac{5\pi }{6})$。 由 $\cos \alpha =\sin (\alpha +\frac{\pi }{2})$： $\cos (2x-\frac{5\pi }{6})=\sin (2x-\frac{5\pi }{6}+\frac{\pi }{2})=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$。 这与 $\sin (2x+\frac{2\pi }{3})$ 相差一个负号（或 $\pi$ 的相位），故 D 错误。

故选：BC。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 五点作图法的逆用： 最低点对应 $\omega x+\varphi =\frac{3\pi }{2}$，最高点对应 $\frac{\pi }{2}$，零点视情况对应 $0$ 或 $\pi$。
• 诱导公式的灵活性： - $\sin \leftrightarrow \cos$ 互换找 $\frac{\pi }{2}$。
  • 负号提取：$\sin (-x)=-\sin x$，$\cos (-x)=\cos x$。
• 多选题策略： 算出基础解析式后，不要只盯着它看，要主动把选项里的 $\cos$ 转换成 $\sin$ 再对比。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果不确定公式变换，可以在草稿纸上带入特殊值：

• 取 $x=\frac{\pi }{6}$（零点），看选项是否为 $0$。
• 取 $x=\frac{5\pi }{12}$（最低点），看选项是否为 $-1$。
• 验证 C： $\cos (2\cdot \frac{5\pi }{12}+\frac{\pi }{6})=\cos (\frac{5\pi }{6}+\frac{\pi }{6})=\cos \pi =-1$。匹配！
• 验证 D： $\cos (\frac{5\pi }{6}-2\cdot \frac{5\pi }{12})=\cos 0=1\ne -1$。排除！ 这种“特殊值法”在多选题中是极其有效的查漏补缺手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1983-全国卷理-04
• 1991-全国卷理-05
• 1993-新高考理-08