2020-新高考II卷-12 多-不等式综合

本题导读

本题考查基本不等式，以及指数与对数的性质。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）已知 $a>0,b>0$, 且 $a+b=1$, 则 ( )

A. $a^2+b^2\ge \frac{1}{2}$　　B. $2^{a-b}>\frac{1}{2}$　　C. ${\log }_{2}a+{\log }_{2}b\ge -2$　　D. $\sqrt{a}+\sqrt{b}⩽\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 利用基本不等式 $ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$ 结合 $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$ 判断 (A)。
2. 将指数不等式变形转化为底数或指数的比较判断 (B)。
3. 利用对数的运算性质将 ${\log }_{2}a+{\log }_{2}b$ 化为 ${\log }_2(ab)$ 结合 $ab$ 的最大值判断 (C)。
4. 利用平方方法研究 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 的范围判断 (D)。

✅【答案】

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ABD

✍【详细解析】

Abstract

对于 (A)，因为 $a+b=1$，所以 $ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$，则 $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=1-2ab\ge 1-2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，故 (A) 正确； 对于 (B)，$2^{a-b}>\frac{1}{2}=2^{-1}⟺a-b>-1⟺a+1>b$。因为 $b=1-a$，代入得 $a+1>1-a⟺2a>0$，由 $a>0$ 恒成立，故 (B) 正确； 对于 (C)，${\log }_{2}a+{\log }_{2}b={\log }_2(ab)\le {\log }_2\left(\frac{1}{4}\right)=-2$，即 ${\log }_{2}a+{\log }_{2}b\le -2$，故 (C) 错误； 对于 (D)，$(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2=a+b+2\sqrt{ab}=1+2\sqrt{ab}\le 1+2\times \frac{1}{2}=2$，因此 $\sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{2}$，故 (D) 正确。 故选：(A)(B)(D)（注：此题为多选题）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式、对数运算法则、不等式的证明。
2. 核心方法：整体代入与均值不等式的放缩技巧。
3. 避坑指南：注意对数式中真数必须大于零，且对数函数单调性与不等号方向的关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数学中常见的条件极值与不等式判定综合题。
2. 结论推广：当 $a+b=1$ 时，常用均值不等式求解二次方、平方根及对数式的取值范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-12 单-基本不等式求最值
• 2014-上海卷理-05 填-利用基本不等式求最值
• 2014-福建卷理-13 填-基本不等式的应用