2013-山东卷理-12 单-基本不等式求最值

本题导读

本题考查基本不等式，以及基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 设正实数 $x,y,z$ 满足 $x^2-3xy+4y^2-z=0$.则当 $\frac{xy}{z}$ 取得最大值时，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}$ 的最大值为()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{9}{4}$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一阶段：求 $\frac{xy}{z}$ 的最大值及条件。
   • 由已知得 $z=x^2-3xy+4y^2$。
   • 构造分式 $\frac{xy}{z}=\frac{xy}{x^2-3xy+4y^2}$。
   • 利用分子分母同除以 $xy$（$x,y$ 为正实数），转化为 $\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}-3}$。
   • 应用基本不等式求出最大值及其成立条件（$x$ 与 $y$ 的关系）。
2. 第二阶段：求目标表达式的最大值。
   • 将第一阶段得到的条件 $x=2y$ 代入已知等式，将 $z$ 表示为关于 $y$ 的单项式。
   • 将目标式 $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}$ 统一化为关于 $y$ 的函数。
   • 利用配方法求出该函数在定义域上的最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $\frac{xy}{z}$ 的最大值及条件 由 $x^2-3xy+4y^2-z=0$ 得 $z=x^2-3xy+4y^2$。 则 $\frac{xy}{z}=\frac{xy}{x^2-3xy+4y^2}=\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}-3}$。 因为 $x,y>0$，由基本不等式得： $\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot \frac{4y}{x}}=4$ 当且仅当 $\frac{x}{y}=\frac{4y}{x}$，即 $x^2=4y^2$，即 $x=2y$ 时等号成立。 此时，$\frac{xy}{z}$ 取得最大值 $\frac{1}{4-3}=1$。

第二步：代入条件简化目标式 当 $\frac{xy}{z}$ 取得最大值时，$x=2y$。 代入 $z=x^2-3xy+4y^2$ 得： $z=(2y{)}^2-3(2y)y+4y^2=4y^2-6y^2+4y^2=2y^2$ 目标式为： $W=\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}=\frac{2}{2y}+\frac{1}{y}-\frac{2}{2y^2}$ $W=\frac{1}{y}+\frac{1}{y}-\frac{1}{y^2}=\frac{2}{y}-\frac{1}{y^2}$

第三步：求最大值 设 $t=\frac{1}{y}$ ($t>0$)，则 $W=-t^2+2t$。 这是一个开口向下的二次函数，进行配方： $W=-(t^2-2t+1)+1=-(t-1{)}^2+1$ 当 $t=1$，即 $y=1$ 时，$W$ 取得最大值 $1$。 此时对应的 $x=2$，$z=2$，均为正实数，符合题意。

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 的逆向应用（分母最小则分式最大）。

核心方法：消元思想。本题的突破口在于先锁定 $x,y$ 的比例关系，从而将三元问题降为一元问题。

避坑指南：- 注意基本不等式成立的三个前提：“一正、二定、三相等”。 - 在求目标式最大值时，务必先将第一阶段的“前置条件”代入，不能直接对目标式使用不等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元均值不等式的各种变形、二次函数在给定区间上的最值。

结论推广：对于 $\frac{xy}{A{x}^2+Bxy+C{y}^2}$ 形式的最值，恒可通过分子分母除以 $xy$ 转化为关于 $\frac{x}{y}$ 的函数。

方法推广：“条件最值”问题通常有两条路：一是代入消元法（如本题），二是拉格朗日乘数法（竞赛级方法）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-12 单-基本不等式最值
• 2013-天津卷文-14 填-基本不等式最值
• 2026-天津卷-07 单-基本不等式