2020-新高考II卷-15 填-数列公共项

本题导读

本题考查等差数列的通项与前n项和，以及数列的公共项问题。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）将数列 $\{2n-1\}$ 与 $\{3n-2\}$ 的公共项从小到大排列得到数列 $\{a_n\}$, 则 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为_____.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析两个数列的通项特征：$\{2n-1\}$ 为所有奇数，$\{3n-2\}$ 为 $1,4,7,10,\dots$（即公差为 3 的等差数列）。
2. 找出它们的公共项所满足的条件，确定新数列 $\{a_n\}$ 是等差数列。
3. 利用等差数列求和公式计算前 $n$ 项和。

✅【答案】

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$3n^2-2n$

✍【详细解析】

Abstract

数列 $\{2n-1\}$ 的项为奇数：$1,3,5,7,9,11,13,15,\dots$ 数列 $\{3n-2\}$ 的项为：$1,4,7,10,13,16,\dots$ 两数列的公共项即为既是奇数又是形如 $3k-2$ 的数。 首项公共项为 $a_1=1$。 因为两数列的公差分别为 2 和 3，故其公共项构成的数列 $\{a_n\}$ 是以 1 为首项，公差 $d=\text{lcm}(2,3)=6$ 的等差数列。 其通项公式为： $a_n=1+(n-1)\times 6=6n-5$。 因此，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 为： $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+6n-5)}{2}=\frac{n(6n-4)}{2}=3n^2-2n$。 故答案为：$3n^2-2n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列公共项、等差数列求和公式。
2. 核心方法：利用最小公倍数求公共项数列的公差。
3. 避坑指南：寻找首项时需从小到大依次比对，切勿漏掉第一个公共项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：数列综合模块的高频经典题型。
2. 结论推广：两个公差分别为 $d_1,d_2$ 的等差数列，其公共项构成的数列仍为等差数列，公差为 $\text{lcm}(d_1,d_2)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷理-22 解-二次曲线
• 2006-四川卷理-20 解-级数的收敛与极限
• 2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列