2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列

本题导读

考查等差数列偶数项子数列。$d=3$、$a_1=3$，$a_{2n}=6n$，即 $\{b_n\}$ 是首项 $6$ 公差 $6$ 的等差数列，前 5 项和 $90$，选 C。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2=6$，$a_5=15$，若 $b_n=a_{2n}$，则数列 $\{b_n\}$ 的前 $5$ 项和等于()

A. $30$　　　　　　B. $45$　　　　　　C. $90$　　　　　　D. $186$

🔍【思路分析】

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1. 由 $a_5-a_2=3d=9$ 得 $d=3$，$a_1=6-3=3$。
2. $a_{2n}=a_1+(2n-1)d=3+6n-3=6n$，即 $b_n=6n$。
3. $\{b_n\}$ 是首项 $6$、公差 $6$ 的等差数列，$S_5=5\times 6+\frac{5\times 4}{2}\times 6=30+60=90$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设公差为 $d$，由 $a_5-a_2=3d=15-6=9$，得 $d=3$，$a_1=a_2-d=3$. 于是 $b_n=a_{2n}=a_1+(2n-1)d=3+(2n-1)\times 3=6n.$ 所以 $\{b_n\}$ 是首项为 $6$、公差为 $6$ 的等差数列，其前 $5$ 项和 $S_5=5b_1+\frac{5\times 4}{2}d=5\times 6+10\times 6=90.$ （或 $S_5=6+12+18+24+30=90$.） 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的偶数项子数列

核心方法：$d=3$，$a_{2n}=6n$，$\{b_n\}$ 即首项 $6$ 公差 $6$ 的等差数列，$S_5=90$

避坑指南：$a_{2n}=a_1+(2n-1)d$ 是 $n$ 的一次函数，故 $\{a_{2n}\}$ 必为等差、公差 $2d$；先化简 $b_n$ 通项再求和，比逐项列举更稳。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：子数列是等差数列的常考变形，2010 大纲Ⅱ文第 6 题、2010 重庆文第 2 题同型。

结论推广：$a_{2n}=a_1+(2n-1)d=2dn+(a_1-d)$；子数列公差为 $2d$。

方法推广：认出 $b_n=6n$ 后用求和公式或逐项相加皆可；“偶数项子列公差翻倍”结论可直接使用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 2009-新课标卷文-08 单-等差数列中项求和
• 2010-重庆卷文-02 单-等差数列中项
• 2010-大纲卷II文-06 单-等差数列中项求和
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和