2020-江苏卷-03 填-线性规划

本题导读

本题考查算术平均数的定义，以及一元一次方程的解法。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）3. 已知一组数据 $4,2a,3-a,5,6$ 的平均数为 $4$，则 $a$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用平均数公式： 平均数等于所有数据的总和除以数据的个数。本题中有 5 个数据，平均数为 4。

2. 建立等式： 根据 $\frac{\sum x_i}{n}=\bar{x}$，可以得出： $\text{数据总和}=\text{平均数}\times \text{数据个数}$

3. 解方程： 将含 $a$ 的代数式代入等式，解出 $a$ 的值。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 2

【解析过程】

1. 计算数据总和： 总和 $S=4+2a+(3-a)+5+6$ 合并同类项得：$S=(4+3+5+6)+(2a-a)=18+a$

2. 利用平均数建立方程： 数据共有 $5$ 个，平均数为 $4$。 根据公式：$\frac{18+a}{5}=4$

3. 求解 $a$： $18+a=20$ $a=2$

故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式： $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$。在处理含参数据时，注意括号的使用，避免符号错误。
• 易错点： 1. 个数数错： 误将 $2a$ 和 $3-a$ 看作更多或更少的数据项。 2. 计算失误： 在合并同类项或移项时出错。
• 技巧总结： 看到平均数题目，习惯性地先算出“总和”，这通常是解题的第一步。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求这组数据的 方差 $s^2$，在求得 $a=2$ 后，数据组变为 $4,4,1,5,6$。 则方差为： $s^2=\frac{1}{5}[(4-4{)}^2+(4-4{)}^2+(1-4{)}^2+(5-4{)}^2+(6-4{)}^2]=\frac{1}{5}[0+0+9+1+4]=2.8$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷理-20
• 2008-山东卷理-08
• 2008-新课标卷文-19 解-平均数与古典概型