2020-江苏卷-05 填-函数值域

本题导读

本题考查算法流程图，以及分段函数。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）5. 如图是一个算法流程图（图示逻辑为：输入 $x$；若 $x>0$，则 $y=2^x$；否则 $y=x+1$；最后输出 $y$）。若输出 $y$ 的值为 $-2$，则输入 $x$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析流程图逻辑： 该流程图本质上是一个分段函数： $y=\{\begin{array}{ll}{2}^x,& x>0\\ x+1,& x\le 0\end{array}$

2. 逆推 $x$： 已知 $y=-2$，我们需要讨论这个值是从哪一个分支产生的。

• 分支一： 若 $y=2^x=-2$。根据指数函数性质，对于任何实数 $x$，$2^x$ 永远大于 0。因此，该分支不可能产生 $-2$。
• 分支二： 若 $y=x+1=-2$。解得 $x=-3$。同时需要校验条件：$-3\le 0$ 成立。

✅【答案】

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$-3$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-3$

【解析过程】

1. 分析第一条路径 ($x>0$)： 若执行 $y=2^x$，因为 $2^x$ 在定义域内恒大于 0，所以输出值 $y$ 不可能等于 $-2$。

2. 分析第二条路径 ($x\le 0$)： 若执行 $y=x+1$，令 $x+1=-2$， 解得 $x=-3$。

3. 验证条件： 将 $x=-3$ 代入判定框，$-3>0$ 不成立，执行“否”路径，计算 $y=-3+1=-2$，符合题意。

故答案为：$-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 逻辑严谨性： 在做流程图逆推题时，必须检查求出的 $x$ 是否满足所在路径的判定条件。
• 函数性质： 熟记基本初等函数的值域（如 $2^x>0,x^2\ge 0$）可以帮助我们迅速排除错误的路径。
• 图形识别： * 菱形框：判定条件。
  • 矩形框：赋值/计算。
  • 平行四边形框：输入/输出。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果输出的值变为 $y=4$，则输入 $x$ 是多少？

• 若 $2^x=4⟹x=2$（满足 $x>0$）。
• 若 $x+1=4⟹x=3$（不满足 $x\le 0$，舍去）。 此时答案为 $2$。这种多路径讨论是江苏卷算法题的常见考法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-03 单-对数函数值域
• 2013-北京卷文-13 填-分段函数值域
• 1989-全国卷理-15 填-反函数的定义域