2020-江苏卷-06 填-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与渐近线。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）6. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{5}=1(a>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，则该双曲线的离心率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本量： 从双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{5}=1$ 可以直接读出 $b^2=5$，即 $b=\sqrt{5}$。

2. 利用渐近线求 $a$： 焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 根据已知条件 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，建立关于 $a$ 的等式。

3. 计算 $c$ 与离心率 $e$： 利用双曲线中的勾股定理 $c=\sqrt{a^2+b^2}$ 求出半焦距，最后根据 $e=\frac{c}{a}$ 得出结果。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{3}{2}$

【解析过程】

1. 对比渐近线方程： 双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{5}=1$，对应渐近线斜率 $k=\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{a}$。 已知渐近线方程为 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，则有： $\frac{\sqrt{5}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}⟹a=2$。

2. 计算焦距相关量： 已知 $a=2$，$b=\sqrt{5}$， 则 $c^2=a^2+b^2=2^2+(\sqrt{5}{)}^2=4+5=9$。 解得 $c=3$。

3. 求离心率： $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$。

故答案为：$\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式： 双曲线中 $c^2=a^2+b^2$（注意与椭圆 $a^2=b^2+c^2$ 区分）。
• 渐近线记忆技巧： 令双曲线方程右边的 $1$ 变为 $0$，即 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$，解得 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
• 离心率的另一种形式： $e=\sqrt{1+(\frac{b}{a}{)}^2}$。在本题中，已知 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，可以直接代入： $e=\sqrt{1+\frac{5}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$。这种方法在不求 $a$ 的情况下更快。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果双曲线的方程是 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{5}=1$（焦点在 $y$ 轴上），那么： 渐近线方程变为 $y=\pm \frac{a}{b}x=\pm \frac{a}{\sqrt{5}}x$。 在做题时，务必先观察焦点所在的轴，避免 $a,b$ 位置颠倒。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程