2020-江苏卷-21A 解-矩阵变换

本题导读

本题考查矩阵与向量的乘法变换。核心在于矩阵运算方程组化、逆矩阵公式法/定义法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）21. [选修4-2：矩阵与变换] 平面上点 $A(2,-1)$ 在矩阵 $M=\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ -1& b\end{array}\right]$ 对应的变换作用下得到点 $B(3,-4)$。

（1）求实数 $a,b$ 的值；

（2）求矩阵 $M$ 的逆矩阵 $M^{-1}$。

🔍【思路分析】

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（1）矩阵变换原理： 点 $P(x,y)$ 在矩阵 $M$ 作用下变为 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$，其数学表达式为： $M\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]$ 代入 $A,B$ 点坐标即可建立关于 $a,b$ 的方程组。

（2）逆矩阵求法：

• 方法一（定义法）： 设 $M^{-1}=\left[\begin{array}{cc}m& n\\ c& d\end{array}\right]$，利用 $M\cdot M^{-1}=I$（单位矩阵）解方程组。
• 方法二（公式法）： 对于二阶矩阵 $M=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，若其行列式 $|M|=ad-bc\ne 0$，则： $M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$ 在考试中，公式法通常更快捷。

✅【答案】

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$M^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{5}& -\frac{1}{5}\\ \frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 由题意得： $\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ -1& b\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -4\end{array}\right]$ 展开矩阵乘法： $\{\begin{array}{l}2a-1=3\\ -2-b=-4\end{array}$ 解得： $\{\begin{array}{l}a=2\\ b=2\end{array}$

（2）解： 由（1）知 $M=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right]$。

1. 计算行列式： $|M|=2\times 2-(-1)\times 1=4+1=5\ne 0$。
2. 利用公式法求逆矩阵： $M^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{5}& -\frac{1}{5}\\ \frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right]$

故答案为：$M^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{5}& -\frac{1}{5}\\ \frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 坐标向量化： 在矩阵变换中，平面点 $(x,y)$ 必须写成列向量形式参与运算。
• 二阶逆矩阵口诀： “主对角线互换，次对角线变号，最后除以行列式”。
• 计算校验： 得到结果后，可简单口算 $M\cdot M^{-1}$，看第一行第一列是否为 $2\cdot \frac{2}{5}+1\cdot \frac{1}{5}=1$，以此快速检查准确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题中的矩阵 $M=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right]$ 可以分解为： $M=\sqrt{5}\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{\sqrt{5}}& \frac{1}{\sqrt{5}}\\ -\frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{2}{\sqrt{5}}\end{array}\right]$ 这代表了一个旋转变换（旋转角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}$）与一个相似伸缩变换（伸缩比例为 $\sqrt{5}$）的复合。在附加题中，有时会要求识别变换的几何特征。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-21B 解-矩阵与变换
• 2004-上海卷理-06 填-平面向量的共线与同向
• 2004-天津理-03 单-平面向量的夹角与共线