2014-江苏卷-21B 解-矩阵与变换

本题导读

本题考查矩阵与向量乘法的基本运算。通过建立矩阵等式对应的线性方程组，求解未知参数 $x,y$，属于选修模块中的基础运算题。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& x\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right]$，向量 $\vec{\alpha }=\left[\begin{array}{c}2\\ y\end{array}\right]$，$x,y$ 为实数.若 $A\vec{\alpha }=B\vec{\alpha }$，求 $x+y$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 执行矩阵乘法：分别计算左边 $A\vec{\alpha }$ 和右边 $B\vec{\alpha }$ 的结果，得到两个二维列向量。
2. 建立方程组：根据向量相等的定义（对应分量相等），列出关于 $x,y$ 的二元方程组。
3. 求解与求值：解方程组得到 $x,y$ 的具体数值，最后计算 $x+y$。

✅【答案】

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$\frac{7}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算 $A\vec{\alpha }$ $A\vec{\alpha }=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& x\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\times 2+2\times y\\ 1\times 2+x\times y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2y-2\\ 2+xy\end{array}\right]$

第二步：计算 $B\vec{\alpha }$ $B\vec{\alpha }=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\times 2+1\times y\\ 2\times 2+(-1)\times y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2+y\\ 4-y\end{array}\right]$

第三步：建立并解方程组 因为 $A\vec{\alpha }=B\vec{\alpha }$，所以： $\{\begin{array}{l}2y-2=2+y\\ 2+xy=4-y\end{array}$ 由第一式得： $y=4$ 将 $y=4$ 代入第二式得： $2+4x=4-4⟹2+4x=0⟹4x=-2$ 解得： $x=-\frac{1}{2}$

第四步：计算 $x+y$ $x+y=-\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}$

故答案为 $\frac{7}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：矩阵乘法规则 $(m\times n)$ 矩阵乘以 $(n\times 1)$ 向量。

2. 核心方法：将矩阵等式转化为代数方程组。

3. 避坑指南：矩阵乘法时注意“行乘列”的对应关系，不要记混运算顺序。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量。

2. 结论推广: 若矩阵 $M=A-B$，则原题等价于 $M\vec{\alpha }=\vec{0}$，即 $\vec{\alpha }$ 是矩阵 $A-B$ 对应线性变换的一个零向量（或特征向量相关讨论）。

3. 方法推广: 将矩阵等式转化为代数方程组。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-21 解-矩阵乘法与几何变换
• 2013-广东卷文-16 解-三角求值与变换
• 2013-安徽卷文-16 解-三角和角与变换