2020-浙江卷-03 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划。核心在于图解法 (平移直线法)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）3. 若实数 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-3y+1\le 0\\ x+y-3\ge 0\end{array}$，则 $z=x+2y$ 的取值范围是（ ）

A. $(-\infty ,4]$　　　　B. $[4,+\infty )$　　　　C. $[5,+\infty )$　　　　D. $(-\infty ,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：

• 直线 $L_1:x-3y+1=0$。取点 $(0,1/3),(1,2/3)$。根据“直线定界，测试点定域”，该不等式表示直线左上方。

• 直线 $L_2:x+y-3=0$。取点 $(3,0),(0,3)$。该不等式表示直线右上方。

2. 分析目标函数 $z=x+2y$： 变形为斜截式：$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。

• 斜率 $k=-1/2$ 固定。
• $z$ 的大小决定了直线在 $y$ 轴上的截距 $z/2$。
• 找最小值： 将直线 $y=-1/2x$ 向可行域平移，最先接触到的点即为最小值点。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 确定顶点坐标： 联立两直线方程： $\{\begin{array}{l}x-3y=-1\\ x+y=3\end{array}$ 两式相减：$4y=4⟹y=1$。 代入：$x+1=3⟹x=2$。 交点 $A$ 的坐标为 $(2,1)$。

2. 判定可行域形状： 观察不等式组可知，$y$ 的系数在 $L_1$ 中为负而在 $L_2$ 中为正，且区域均朝向 $y$ 轴正半轴方向延伸。 该可行域是一个以 $A(2,1)$ 为顶点，向右上方无限延伸的角形无界区域。

3. 寻找 $z$ 的极值：

• 目标函数 $z=x+2y$。

• 在点 $A(2,1)$ 处，$z=2+2(1)=4$。

• 沿可行域向右上方移动时（如取点 $(10,10)$），$z=10+20=30$，数值不断增大。

• 因此，$z$ 有最小值 4，没有最大值。

4. 结论： $z$ 的取值范围是 $[4,+\infty )$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 截距正负与最值： - 若 $z=ax+by$ 且 $b>0$，则 $z$ 与 $y$ 轴截距变化一致（截距最小，$z$ 最小）。

• 若 $b<0$，则反之。

• 无界区域陷阱： 浙江卷常在选择题中给出无界区域。如果计算出两个顶点，务必画图确认是“夹在中间”还是“向外发散”。
• 斜率比较： 目标直线的斜率 $-1/2$ 介于 $L_1$ 的斜率 $1/3$ 和 $L_2$ 的斜率 $-1$ 之间，这保证了最小值一定在交点处取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 求出唯一交点 $A(2,1)$，计算 $z=4$。
2. 观察选项，若 $z$ 是单向无限的，答案必含 $4$。排除 C, D。
3. 随便在域内取一个远点，如 $(0,100)$（满足 $x-3y+1\le 0$ 和 $x+y-3\ge 0$），代入 $z=200>4$。
4. 说明范围是向大的方向走，直接选 B。

快速求解： 交点 $(2,1)\to z=4$。$y$ 的系数为正且区域向上 $\to z$ 趋向正无穷。选 B。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-12 填-线性规划最大值
• 2008-湖北卷文-05 单-不等式组平面区域
• 2008-湖南卷文-03 单-线性规划最小值