2020-浙江卷-04 单-三角函数图象

本题导读

本题考查函数的奇偶性定义与判定。核心在于排除法、奇偶性判定的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）4. 函数 $y=x\cos x+\sin x$ 在区间 $[-\pi ,\pi ]$ 的图象大致为（ ）

🔍【思路分析】

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1. 判定奇偶性： 设 $f(x)=x\cos x+\sin x$。 $f(-x)=(-x)\cos (-x)+\sin (-x)=-x\cos x-\sin x=-f(x)$。

• 结论： $f(x)$ 为奇函数。

• 图象特征： 关于原点中心对称。若选项中有关于 $y$ 轴对称（偶函数）的图象可直接排除。

2. 取特殊值代入： 选择区间端点 $x=\pi$ 或 $x=\pi /2$。

• $f(\pi )=\pi \cos \pi +\sin \pi =\pi (-1)+0=-\pi \approx -3.14$。
• 观察： 在 $x=\pi$ 处，函数值应为负数。

3. 结合单调性（导数辅助）： $f^{\prime }(x)=(1\cdot \cos x+x\cdot (-\sin x))+\cos x=2\cos x-x\sin x$。 在 $x=0$ 附近，$f^{\prime }(0)=2>0$，说明函数在原点附近是递增的。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 奇偶性筛选： 因为 $f(-x)=-f(x)$，函数为奇函数。

• 排除 C, D（假设其表现为偶函数特征或不具备对称性）。

2. 端点值筛选： 计算 $x=\pi$ 时的函数值： $y=\pi \cos \pi +\sin \pi =-\pi +0=-\pi <0$。

• 观察 B 选项：图象在 $x=\pi$ 处位于 $x$ 轴上方（正数），排除 B。
• 观察 A 选项：图象在 $x=\pi$ 处位于 $x$ 轴下方，且关于原点对称，符合要求。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• “三步走”战略： 一看奇偶（对称性），二看特殊点（端点、零点、极值点），三看趋势（导数）。
• 陷阱点： 同学们容易把 $x\cos x$ 误认为是偶函数乘以偶函数，记住 $x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数，积为奇函数；$\sin x$ 也是奇函数，奇+奇=奇。
• 浙江卷风格： 浙江卷的图象题通常不需要复杂的求导全过程，只要抓住“正负性”和“对称性”这两个核心指标就能快速快速求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• $y=x\sin x$ ：偶函数（奇 $\times$ 奇）。
• $y=|x|\cos x$ ：偶函数。
• $y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ ：奇函数。
• $y=\frac{\sin x}{x}$ ：偶函数。

快速求解： 奇函数排除 CD；$x=\pi$ 时 $y=-\pi$ 排除 B。选 A。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-05 单-奇函数求值
• 2011-山东卷文-10 单-函数图象识别
• 2016-全国卷I文-9