2010-山东卷文-05 单-奇函数求值

本题导读

考查奇函数求值。$f(0)=2^0+0+b=0$ 得 $b=-1$；$f(1)=2+2-1=3$，故 $f(-1)=-f(1)=-3$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 设 $f(x)$ 为定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x⩾0$ 时，$f(x)=2^x+2x+b$（$b$ 为常数），则 $f(-1)$ 等于()

A. $-3$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)$ 是奇函数且定义在 $\mathbf{R}$ 上，故 $f(0)=0$。
2. $f(0)=2^0+0+b=1+b=0\Rightarrow b=-1$。
3. $x⩾0$ 时 $f(x)=2^x+2x-1$，故 $f(1)=2^1+2-1=3$。
4. $f(-1)=-f(1)=-3$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，所以 $f(0)=0$. 又当 $x⩾0$ 时 $f(x)=2^x+2x+b$，取 $x=0$ 得 $f(0)=2^0+0+b=1+b=0,$ 故 $b=-1$，即 $x⩾0$ 时 $f(x)=2^x+2x-1$. 于是 $f(1)=2^1+2\times 1-1=3.$ 由奇函数的性质 $f(-x)=-f(x)$，得 $f(-1)=-f(1)=-3.$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数的性质与求值

核心方法：奇函数定义域含 $0$ 时 $f(0)=0$ 定常数，再用 $f(-1)=-f(1)$

避坑指南：先由 $f(0)=0$ 求出 $b=-1$，再算 $f(1)$；若直接套 $f(-1)=-f(1)$ 而漏求 $b$，就会算错 $f(1)$ 的值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数”过原点”是含常数的分段函数题的定参抓手。

结论推广：定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数必有 $f(0)=0$，这是求解析式中常数的最快途径。

方法推广：分段给出的奇偶函数，先在 $x=0$ 处定常数，再在对称区间用 $f(-x)=\mp f(x)$ 求值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-08 单-偶函数单调性
• 2011-广东卷文-12 填-奇偶求值
• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称
• 2010-江西卷文-04 单-导数运算与奇偶性