2020-浙江卷-11 填-数学文化数列

本题导读

本题考查数列通项公式的代入求值，以及数列前 n 项和的概念。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）11. 我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题。如数列 $\{\frac{n(n+1)}{2}\}$ 就是二阶等差数列。数列 $\{\frac{n(n+1)}{2}\}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 的前 3 项和是 ________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析通项公式： 已知 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$。 题目要求前 3 项和 $S_3$，即 $a_1+a_2+a_3$。

2. 逐项计算：

• 当 $n=1$ 时，$a_1=\frac{1\times 2}{2}=1$。
• 当 $n=2$ 时，$a_2=\frac{2\times 3}{2}=3$。
• 当 $n=3$ 时，$a_3=\frac{3\times 4}{2}=6$。

3. 求和： 将上述三项相加即可。

✅【答案】

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10

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 10

【解析过程】

1. 计算各项值： $a_1=\frac{1(1+1)}{2}=1$ $a_2=\frac{2(2+1)}{2}=3$ $a_3=\frac{3(3+1)}{2}=6$
2. 计算前 3 项和： $S_3=a_1+a_2+a_3=1+3+6=10$。

故答案为：10。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 背景干扰： 题目中的“高阶等差数列”、“杨辉”、“朱世杰”等信息属于背景介绍，增加题目人文气息，但不影响具体计算。在考场上应快速提取核心数学公式。
• 数列特征： 该数列 $\{1,3,6,10,\dots \}$ 实际上是著名的三角形数。
• 二阶等差数列： 之所以称之为二阶等差，是因为其相邻项的差 $\{2,3,4,\dots \}$ 构成了一个一阶等差数列。

📖【试题探源与推广】

Tip

若题目要求前 $n$ 项和 $S_n$，对于 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$，其求和公式为： $S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

• 验证本题：$S_3=\frac{3\times 4\times 5}{6}=10$。符合！ 这个结论在处理更复杂的数列大题时非常有用。

快速求解： 直接口算 $1+3+6=10$。耗时不到 10 秒。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和
• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 2006-天津卷理-11 填-通项公式