2020-浙江卷-13 填-两角和差正切

本题导读

本题考查二倍角公式。核心在于公式代入法、同角三角函数基本关系的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年浙江卷）13. 已知 $\tan \theta =2$，则 $\cos 2\theta =$ ________；$\tan (\theta -\frac{\pi }{4})=$ ________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一空：利用 $\tan \theta$ 求 $\cos 2\theta$

• 方法一（万能公式）： 直接使用 $\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$。

• 方法二（弦化切）： $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$。利用“1”的代换，即 $\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }$，分子分母同时除以 ${\cos }^2\theta$ 转化为关于 $\tan \theta$ 的式子。

2. 第二空：两角差的正切公式

• 公式为：$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$。
• 将 $\alpha =\theta ,\beta =\frac{\pi }{4}$ 代入，注意 $\tan \frac{\pi }{4}=1$。

✅【答案】

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$-\frac{3}{5}$；$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-\frac{3}{5}$；$\frac{1}{3}$

【解析过程】

1. 第一空解答： 利用万能公式： $\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$ 代入 $\tan \theta =2$： $\cos 2\theta =\frac{1-2^2}{1+2^2}=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}$

2. 第二空解答： 利用两角差的正切公式： $\tan \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \theta -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \theta \cdot \tan \frac{\pi }{4}}$ 代入 $\tan \theta =2,\tan \frac{\pi }{4}=1$： $\tan \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{2-1}{1+2\times 1}=\frac{1}{3}$

故答案为：$-\frac{3}{5}$；$\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 万能公式： $\sin 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$，$\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$。这两个公式在“已知正切求弦”的题目中效率极高。
• 特殊角数值： 必须熟记 $\tan \frac{\pi }{4}=1$。
• 符号判定： 浙江卷有时会限制 $\theta$ 的范围，此时要注意开方后的正负号。但本题直接用 $\tan$ 的公式，避开了正负号的讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

在处理 $\frac{a\sin \theta +b\cos \theta }{c\sin \theta +d\cos \theta }$ 或 ${\sin }^2\theta ,{\cos }^2\theta$ 的齐次式时，通常都可以通过除以 $\cos \theta$ 或 ${\cos }^2\theta$ 转化为 $\tan \theta$。 例如：$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =\frac{2\sin \theta \cos \theta }{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }=\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$。

快速求解： 第一空：$(1-4)/(1+4)=-3/5$。 第二空：$(2-1)/(1+2)=1/3$。 全过程口算即可，耗时约 15 秒。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1977-河北卷-03
• 1978-全国卷-06