2015-浙江卷理-13 填-异面直线角

本题导读

本题考查三棱锥中异面直线所成角的计算。核心技巧是通过取中点构造中位线，将异面直线平移至同一平面内形成三角形，再利用勾股定理和余弦定理进行定量计算。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）如图，三棱锥 $A-BCD$ 中，$AB=AC=BD=CD=3$，$AD=BC=2$，点 $M,N$ 分别是 $AD,BC$ 的中点，则异面直线 $AN,CM$ 所成角的余弦值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 平移找角：寻找或构造平行线，将异面直线 $AN$ 与 $CM$ 转化到同一个三角形中。取 $ND$ 的中点 $E$，连接 $ME$，则 $ME\parallel AN$ 且 $ME=\frac{1}{2}AN$。此时 $\angle EMC$（或其补角）即为异面直线所成的角。
2. 计算边长：
   • 在 $△ABC$ 中计算中线 $AN$ 的长，在 $△BCD$ 中计算中线 $CN$ 的长。
   • 利用中位线性质得到 $ME$。
   • 在 $△NCD$ 中利用勾股定理求出 $CE$。
3. 应用余弦定理：在 $△MEC$ 中，已知三边长，利用余弦定理求出 $\cos \angle EMC$。

✅【答案】

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$\frac{7}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：构造平移三角形 取 $ND$ 的中点为 $E$，连结 $ME,CE$。 因为 $M$ 是 $AD$ 的中点，$E$ 是 $ND$ 的中点， 所以 $ME\parallel AN$ 且 $ME=\frac{1}{2}AN$。 故异面直线 $AN$ 与 $CM$ 所成的角即为 $\angle EMC$（或其补角）。

第二步：计算各线段长度

1. 求 $AN$ 和 $CM$： 在 $△ABC$ 中，$AB=AC=3,BC=2$，$N$ 为 $BC$ 中点，则 $AN\perp BC$。 $AN=\sqrt{A{C}^2-N{C}^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。 同理，在 $△ACD$ 中，$CM=\sqrt{A{C}^2-A{M}^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$。 所以 $ME=\frac{1}{2}AN=\sqrt{2}$。

2. 求 $CE$： 在等腰 $△BCD$ 中，$CN\perp ND$ 不成立，需重新审视 $△NCD$。 由于 $BD=CD=3,BC=2$，$N$ 为 $BC$ 中点，则 $DN\perp BC$，$DN=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。 在 $Rt△CND$ 中（因为 $DN\perp BC$ 且 $CN\subset BC$ 并不成立，修正：应是 $DN\perp BC$ 且 $CN=1$）， 在 $△CND$ 中，$CN=1,ND=2\sqrt{2}$，且 $\angle CND=90^{\circ }$。 由于 $E$ 是 $ND$ 中点，$NE=\frac{1}{2}ND=\sqrt{2}$。 在 $Rt△CNE$ 中，$CE=\sqrt{C{N}^2+N{E}^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{3}$。

第三步：余弦定理求解 在 $△MEC$ 中，$ME=\sqrt{2},MC=2\sqrt{2},CE=\sqrt{3}$。 根据余弦定理： $\cos \angle EMC=\frac{M{E}^2+M{C}^2-C{E}^2}{2\cdot ME\cdot MC}$ $\cos \angle EMC=\frac{(\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}{2\cdot \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}$ $\cos \angle EMC=\frac{2+8-3}{8}=\frac{7}{8}$

故答案为：$\frac{7}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平移法求异面直线角。其步骤为：一作（平移）、二证（指明所成角）、三算（解三角形）。
• 核心方法：利用三角形中位线是平移异面直线的常用手段。
• 避坑指南：计算 $CE$ 时，必须先判定 $△CND$ 的形状。本题中 $DN$ 是等腰三角形底边上的中线，故 $DN\perp BC$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若三棱锥的对棱相等，则该三棱锥为长方体的内接四面体，利用补形法（补成长方体）可以更直观地解决度量问题。 *方法推广: 异面直线所成角的范围是 $(0,\frac{\pi }{2}]$，若余弦定理算得负值，需取其绝对值。

• 相关知识点：空间坐标系法求角、三垂线定理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2018-浙江卷-13 填-正弦定理
• 2022-高考浙江卷-13
• 2020-浙江卷-13 填-两角和差正切