2021-上海卷-08 填-无穷等比数列

本题导读

本题考查无穷递缩等比数列的定义，以及无穷等比数列求和公式。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）8. 已知无穷递缩等比数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=3$，其各项和为 $9$。若数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=a_{2n}$，则数列 $\{b_n\}$ 的各项和为 ___________．

1. 锁定原数列 $\{a_n\}$ 的参数： 无穷递缩等比数列的求和公式为 $S=\frac{a_1}{1-q}$（其中 $|q|<1$）。 已知 $a_1=3,S=9$，代入公式即可求出公比 $q$。

2. 分析新数列 $\{b_n\}$ 的特征： 新数列 $b_n=a_{2n}$，即：

• $b_1=a_2=a_{1}q$
• $b_2=a_4=a_1{q}^3$
• $b_3=a_6=a_1{q}^5$ 显然，$\{b_n\}$ 也是一个等比数列，其首项为 $a_{1}q$，公比为 $q^2$。

3. 计算新数列的和： 将 $\{b_n\}$ 的首项和公比代入无穷求和公式即可。

🔍【思路分析】

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$185$

✅【答案】

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$\frac{18}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求原数列公比 $q$ 由已知条件得： $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3}{1-q}=9$ 解得： $1-q=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}⟹q=\frac{2}{3}$ 由于 $|q|<1$，符合无穷递缩等比数列的条件。

第二步：求数列 $\{b_n\}$ 的基本量 数列 $\{b_n\}$ 的首项为： $b_1=a_2=a_1\cdot q=3\times \frac{2}{3}=2$ 数列 $\{b_n\}$ 的公比 $q^{\prime }$ 为： $q^{\prime }=\frac{b_2}{b_1}=\frac{a_4}{a_2}=q^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$

第三步：计算 $\{b_n\}$ 的各项和 $S_b$ $S_b=\frac{b_1}{1-q^{\prime }}=\frac{2}{1-\frac{4}{9}}=\frac{2}{\frac{5}{9}}=\frac{18}{5}$

故答案为：$\frac{18}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 新旧数列参数转换： 这种“提取子数列”的题目，最关键的是找准新首项。很多同学会习惯性认为新首项还是 $a_1$，从而导致错误。

• 计算技巧： 在求和公式中，注意分母是 $1-q$ 还是 $1-q^2$。

1. 奇数项与偶数项之和： 若原数列各项和为 $S$，奇数项和为 $S_{odd}=\frac{a_1}{1-q^2}$，偶数项和为 $S_{even}=\frac{a_{1}q}{1-q^2}$。 容易发现：$S_{even}=q\cdot S_{odd}$，且 $S=S_{odd}+S_{even}$。 利用这个性质，本题中 $q=2/3$，则 $S_{even}=\frac{2}{3}{S}_{odd}$。 结合 $S_{odd}+\frac{2}{3}{S}_{odd}=9⟹\frac{5}{3}{S}_{odd}=9⟹S_{odd}=\frac{27}{5}$。 则 $S_{even}=9-\frac{27}{5}=\frac{18}{5}$。这是一种不需要算 $b_n$ 通项的整体思维方法。

2. 收敛性条件： 公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 成立的前提必须是 $|q|<1$。如果计算出 $q\ge 1$，则该数列不收敛，不存在各项和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-19 解-通项公式与性质
• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比