2021-上海卷-14 单-参数方程

本题导读

本题考查参数方程，以及三角换元。

📌【题干】

Question

（2021年上海卷）14. 已知参数方程 $\{\begin{array}{l}x=3t-4t^3\\ y=2t\sqrt{1-t^2}\end{array}(t\in [-1,1])$，以下哪个图像是该方程的图像（ ）

1. 结构识别（深度视觉）：

• 观察 $x=3t-4t^3$：这个结构与三角函数中的三倍角公式 $\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ 完全一致。
• 观察 $y=2t\sqrt{1-t^2}$：若令 $t=\sin \theta$，则 $\sqrt{1-t^2}=\cos \theta$，该式变为 $y=2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$。

2. 三角换元转化： 令 $t=\sin \theta$，由于 $t\in [-1,1]$，可取 $\theta \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$。 则原参数方程简化为： $\{\begin{array}{l}x=\sin 3\theta \\ y=\sin 2\theta \end{array}(\theta \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}])$

3. 性质推导：

• 对称性： 若 $\theta \to -\theta$，则 $x\to -x,y\to -y$，图像关于原点对称。
• 特殊点： - 当 $\theta =0$ 时，$(x,y)=(0,0)$。
• 当 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 时，$x=\sin \frac{\pi }{2}=1,y=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
• 当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，$x=\sin \frac{3\pi }{2}=-1,y=\sin \pi =0$。
• 当 $\theta =-\frac{\pi }{2}$ 时，$x=\sin (-\frac{3\pi }{2})=1,y=\sin (-\pi )=0$。

🔍【思路分析】

破题导航

B

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：特殊值与排除法

1. 令 $t=0⟹x=0,y=0$，过原点。
2. 令 $t=1⟹x=3(1)-4(1{)}^3=-1,y=2(1)\sqrt{0}=0$，过点 $(-1,0)$。
3. 令 $t=-1⟹x=3(-1)-4(-1{)}^3=1,y=2(-1)\sqrt{0}=0$，过点 $(1,0)$。
4. 取 $t=\frac{1}{2}$，代入计算： $x=3(\frac{1}{2})-4(\frac{1}{8})=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$。 $y=2(\frac{1}{2})\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$。 说明点 $(1,0.866)$ 在图像上。
5. 取 $t=-\frac{1}{2}$，代入计算： $x=-1,y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。 结合对称性与以上点，只有选项 B 的轨迹形状（类似无穷大符号 $\infty$ 的波浪状且关于原点对称）符合。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 参数方程的“三角魂”： 很多代数形式的参数方程（如包含 $\sqrt{1-t^2}$ 或 $1-t^2$ 的）本质上是三角函数的变形。识别出 $t=\sin \theta$ 或 $t=\cos \theta$ 是这类压轴选择题的捷径。

• 利萨茹图形（Lissajous curve）： 本题本质上是利萨茹图形的一种特殊形式，即 $x,y$ 分别是不同频率的正弦振动。

1. 去参法： 虽然本题去参（消去 $t$）会得到一个极其复杂的高次曲线方程，不建议操作，但在处理直线、圆、椭圆的参数方程时，“去参”是第一要务。
2. 定义域限制： 参数 $t$ 的范围直接决定了图像的完整性。如果 $t$ 的范围缩小，图像可能只是完整曲线的一段。
3. 上海卷偏好： 上海卷喜欢考查图像的几何特征（对称性、范围、连通性），在做题时要多从函数奇偶性的角度去思考参数式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012年新课标Ⅰ理-23
• 2024-甲卷理-22 解-极坐标与参数方程
• 2011-福建卷理-21B