2021-乙卷文-06 单-三角恒等变换

本题导读

本题考查诱导公式，以及二倍角的余弦公式。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）${\cos }^2\frac{\pi }{12}-{\cos }^2\frac{5\pi }{12}=$ ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 利用诱导公式将 $\cos \frac{5\pi }{12}$ 转化为与 $\frac{\pi }{12}$ 相关的正弦或余弦。
2. 结合二倍角公式进行化简计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\cos \frac{5\pi }{12}=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{12}\right)=\sin \frac{\pi }{12}$， 所以 ${\cos }^2\frac{\pi }{12}-{\cos }^2\frac{5\pi }{12}={\cos }^2\frac{\pi }{12}-{\sin }^2\frac{\pi }{12}=\cos \left(2\times \frac{\pi }{12}\right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式、二倍角公式。
2. 核心方法：通过互余关系转化名次，利用二倍角余弦公式求解。
3. 避坑指南：注意平方项与角的变化关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：三角函数恒等变换基础题。
2. 结论推广：熟练掌握特殊角的三角函数值及基本公式是三角求值的关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1977-上海理-01(4）
• 1991-全国卷理-05