2021-乙卷文-09 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$, 则下列函数中是奇函数的是 ()

A. $f(x-1)-1$　B. $f(x-1)+1$　C. $f(x+1)-1$　D. $f(x+1)+1$

🔍【思路分析】

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1. 先求出各选项对应的解析式。
2. 利用奇函数定义 $g(-x)=-g(x)$ 逐一验证。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$， 对于选项 (B)，设 $g(x)=f(x-1)+1$， 则 $f(x-1)=\frac{1-(x-1)}{1+(x-1)}=\frac{2-x}{x}=\frac{2}{x}-1$， 故 $g(x)=\left(\frac{2}{x}-1\right)+1=\frac{2}{x}$。 其定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$，关于原点对称。 且 $g(-x)=\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}=-g(x)$， 满足奇函数的定义，故 $f(x-1)+1$ 为奇函数。 故选：(B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的奇偶性。
2. 核心方法：代入法化简后利用奇偶性定义判断。
3. 避坑指南：判断奇偶性前必须先考察定义域是否关于原点对称。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：函数奇偶性经典考题。
2. 结论推广：平移变换后的函数奇偶性可以通过解析式化简直接判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2015-北京卷文-3
• 2023-新高考II卷-04 单-函数性质