2021-乙卷文-15 填-解三角形

本题导读

本题考查解三角形，以及三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）记 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$, 面积为 $\sqrt{3}$, $B=60^{\circ }$, $a^2+c^2=3ac$, 则 $b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ 建立关于 $ac$ 的方程，求出 $ac$ 的值。
2. 利用余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，将已知条件代入求出 $b^2$，进而求出 $b$。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由三角形面积公式得： $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\sqrt{3}$。 因为 $B=60^{\circ }$ 且 $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$， 所以 $\frac{1}{2}ac\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}⟹\frac{\sqrt{3}}{4}ac=\sqrt{3}⟹ac=4$。 由余弦定理及已知条件 $a^2+c^2=3ac$ 得： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=3ac-2ac\cos 60^{\circ }$ $=3ac-2ac\left(\frac{1}{2}\right)=3ac-ac=2ac$。 将 $ac=4$ 代入得： $b^2=2\times 4=8$。 因为 $b>0$，所以 $b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。 故答案为：$2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形面积公式、余弦定理。
2. 核心方法：将面积公式与余弦定理结合，整体代入 $ac$ 求解。
3. 避坑指南：注意特殊角的三角函数值及余弦定理中夹角余弦的正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解三角形模块高频核心考题。
2. 结论推广：三角形中边长关系式与面积公式的联动是考察代数变形能力的重要途径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2024-北京卷-16 解-解三角形
• 2004-全国卷III理-10 单-余弦定理
• 2010-新课标卷理-16