2024-北京卷-16 解-解三角形

本题导读

本题是典型的解三角形综合解答题。第一问通过二倍角公式化简边角混合递推式，并结合正弦定理求解钝角 $\angle A$；第二问属于结构不良（条件开放）题型，需要考生先对已知条件进行物理存在性排雷判定，再选择有效条件利用余弦定理方程或正弦两角和公式求解三角形面积.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，$\angle A$ 为钝角， $a=7$，$\sin 2B=\frac{\sqrt{3}}{7}b\cos B$.

（1）求 $\angle A$；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ABC$ 存在，求 $△ABC$ 的面积.

条件①： $b=7$；

条件②：$\cos B=\frac{13}{14}$；

条件③： $c\sin A=\frac{5}{2}\sqrt{3}$.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求角）：利用二倍角公式将左侧展开为 $2\sin B\cos B$。由于 $\angle A$ 为钝角，根据三角形性质 $\angle B$ 必为锐角，两端可直接安全约去不为 0 的 $\cos B$。整理得到 $\sin B$ 与 $b$ 的代数关系，进而套用正弦定理求出 $\sin A$。
2. 第二问（条件排雷与面积计算）：

• 条件①排雷：若 $b=7$，因 $a=7$ 推出 $A=B=\text{钝角}$，三角形内角和瞬间崩盘，此条件为“伪条件”，必须舍弃。
• 条件②路径：利用平方关系求出 $\sin B$，通过正弦定理斩获边 $b$。再利用诱导公式 $\sin C=\sin (A+B)$ 配合两角和正弦公式求出 $\sin C$，最后代入 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$。
• 条件③路径（推荐）：将 $\sin A$ 代入条件③直接秒出边 $c=5$。此时已知 $a,c,A$，套用余弦定理关于 $b$ 的一元二次方程解出边 $b$，最后利用 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 一步快速求解，计算量相对较小。

✅【答案】

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(1) $\angle A=\frac{2\pi }{3}$

(2) 选②或③，$S_{△ABC}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）第(1)问详解

（1）求 $\angle A$

由题意知，已知递推式为： $\sin 2B=\frac{\sqrt{3}}{7}b\cos B$ 利用二倍角公式展开等式左边得： $2\sin B\cos B=\frac{\sqrt{3}}{7}b\cos B$ 因为在 $△ABC$ 中， $\angle A$ 为钝角，所以 $\angle B$ 必定为锐角，从而有 $\cos B>0$。 等式两边同时除以 $\cos B$，可化简为： $2\sin B=\frac{\sqrt{3}}{7}b⟹\sin B=\frac{\sqrt{3}}{14}b$ 在 $△ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 变形可得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{1}{\frac{\sin B}{b}}$。 将 $a=7$ 及上面的等式代入： $\frac{7}{\sin A}=\frac{14}{\sqrt{3}}⟹\sin A=\frac{7\sqrt{3}}{14}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 因为 $\angle A$ 为钝角（ $\frac{\pi }{2}<A<\pi$ ）， 所以解得： $A=\frac{2\pi }{3}$

(2) 第(i)问详解

（2）选择条件求 $△ABC$ 的面积

⚠️ 条件①防雷判定（若选此项，本问计0分）： 若选条件①： $b=7$。 因为已知 $a=7$，所以 $a=b$。由大边对大角（或等边对等角）可知 $B=A$。 由第（1）问知 $A=\frac{2\pi }{3}$，则 $A+B=\frac{4\pi }{3}>\pi$，这与三角形内角和定理 $\angle A+\angle B+\angle C=\pi$ 产生致命矛盾！ 故 $△ABC$ 根本不存在，条件①不符合要求，予以淘汰。

方案一：选择条件③（推荐，计算量小，不易算错）

若选条件③： $c\sin A=\frac{5}{2}\sqrt{3}$。

第一步：求边长 $c$ 由第（1）问已证 $A=\frac{2\pi }{3}$，所以 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 代入条件③的方程中： $c\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}⟹c=5$

第二步：利用余弦定理求边长 $b$ 在 $△ABC$ 中，根据余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，代入已知数据： $7^2=b^2+5^2-2\times b\times 5\times \cos \frac{2\pi }{3}$ $49=b^2+25-10b\times \left(-\frac{1}{2}\right)$ 整理化简为标准一元二次方程形式： $b^2+5b-24=0$ 因式分解得： $(b+8)(b-3)=0$ 由于几何图形中边长必须满足 $b>0$，故舍去负根，解得： $b=3$

第三步：计算三角形面积 将 $b=3,c=5,A=\frac{2\pi }{3}$ 代入三角形面积公式： $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times 3\times 5\times \sin \frac{2\pi }{3}=\frac{15}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$

方案二：选择条件②（通法验证）

若选条件②：$\cos B=\frac{13}{14}$。

第一步：求出 $\sin B$ 与边长 $b$ 因为 $\angle B$ 为锐角，根据同角三角函数平方和关系： $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{13}{14}\right)}^2}=\sqrt{\frac{196-169}{196}}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$ 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 可求得： $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{7\times \frac{3\sqrt{3}}{14}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=3$

第二步：求出 $\sin C$ 的值 根据内角和性质 $C=\pi -(A+B)$，利用诱导公式及两角和的正弦公式展开： $\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$ 将 $A=\frac{2\pi }{3},\cos B=\frac{13}{14},\sin B=\frac{3\sqrt{3}}{14}$ 代入上式： $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{13}{14}+\left(-\frac{1}{2}\right)\times \frac{3\sqrt{3}}{14}=\frac{13\sqrt{3}}{28}-\frac{3\sqrt{3}}{28}=\frac{10\sqrt{3}}{28}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$

第三步：计算三角形面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times 7\times 3\times \frac{5\sqrt{3}}{14}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$

【答案】：$\frac{15\sqrt{3}}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 核心考点：正弦定理与余弦定理的交替联立、结构不良问题的存在性检验、两角和正弦超越方程变换。
2. 核心方法：方程变形思想（通过一元二次方程确定唯一正根）、大边对大角排雷法。
3. 避坑指南：

• 选错条件的致命零分：近年来结构不良题必然包含一个产生“无解几何体”的恶性干扰项（条件①）。考生在落笔前务必进行基础边角关系的口算复合（如等边对等角、两边之和大于第三边判断），切忌盲目挑选第一个条件就开始动笔。
• 余弦定理方程根的取舍：在使用条件③构建 $b^2+5b-24=0$ 后，求出的根有正有负，写解答步骤时必须标明 “因为 $b>0$ ”，以此规范扣分细节。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2019-全国卷II文-15 填-正弦定理