2021-乙卷文-21 解-导数综合

本题导读

本题考查导数与函数的单调性。核心在于求导分类讨论法、设切点列方程法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）设函数 $f(x)=x^3-x^2+ax+1$.

（1） 讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2） 求曲线 $y=f(x)$ 过坐标原点的切线与曲线 $y=f(x)$ 的公共点的坐标.

🔍【思路分析】

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1. 求导得 $f^{\prime }(x)=3x^2-2x+a$，通过研究其判别式 $\Delta$ 的符号，分 $a\ge \frac{1}{3}$ 与 $a<\frac{1}{3}$ 讨论函数的单调区间。
2. 设出切点坐标 $(x_0,y_0)$，利用导数表示切线方程，结合切线过原点求出切点横坐标 $x_0$，进而写出切线方程。
3. 联立切线方程与原函数解析式，通过因式分解求出公共点的坐标。

✅【答案】

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$x_0^3-x_0^2+a{x}_0+1=3x_0^3-2x_0^2+a{x}_0$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 函数 $f(x)$ 的导数为： $f^{\prime }(x)=3x^2-2x+a$. 其判别式 $\Delta =(-2{)}^2-4\times 3\times a=4-12a=4(1-3a)$. ① 当 $1-3a\le 0$，即 $a\ge \frac{1}{3}$ 时，$\Delta \le 0$，此时 $f^{\prime }(x)\ge 0$ （仅在 $x=\frac{1}{3}$ 时导数为 0）， 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增. ② 当 $1-3a>0$，即 $a<\frac{1}{3}$ 时，$\Delta >0$，方程 $3x^2-2x+a=0$ 有两个不等的实根： $x_1=\frac{2-\sqrt{4-12a}}{6}=\frac{1-\sqrt{1-3a}}{3}$, $x_2=\frac{1+\sqrt{1-3a}}{3}$. 当 $x\in (-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$， $f(x)$ 单调递增； 当 $x\in (x_1,x_2)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$， $f(x)$ 单调递减.

（2） 设切点坐标为 $P(x_0,y_0)$，其中 $y_0=x_0^3-x_0^2+a{x}_0+1$. 因为 $f^{\prime }(x_0)=3x_0^2-2x_0+a$， 所以过点 $P$ 的切线方程为： $y-y_0=(3x_0^2-2x_0+a)(x-x_0)$. 因为切线过坐标原点 $(0,0)$，代入得： $-y_0=(3x_0^2-2x_0+a)(0-x_0)$ 即 $y_0=x_0(3x_0^2-2x_0+a)=3x_0^3-2x_0^2+a{x}_0$. 又因为 $y_0=x_0^3-x_0^2+a{x}_0+1$， 所以 $x_0^3-x_0^2+a{x}_0+1=3x_0^3-2x_0^2+a{x}_0$， 化简得 $2x_0^3-x_0^2-1=0$. 因式分解得 $(x_0-1)(2x_0^2+x_0+1)=0$. 因为对二次方程 $2x_0^2+x_0+1=0$，其判别式 $\Delta =1-8=-7<0$，无实数根， 所以 $x_0=1$. 此时切点纵坐标为 $f(1)=1^3-1^2+a(1)+1=a+1$， 切线斜率 $k=f^{\prime }(1)=3(1{)}^2-2(1)+a=a+1$. 故过原点的切线方程为 $y=(a+1)x$. 联立切线方程与曲线方程： $\{\begin{array}{l}y=x^3-x^2+ax+1\\ y=(a+1)x\end{array}$ 消去 $y$ 得： $x^3-x^2+ax+1=(a+1)x$ $x^3-x^2-x+1=0$ $x^2(x-1)-(x-1)=0$ $(x^2-1)(x-1)=0$ $(x-1{)}^2(x+1)=0$. 解得 $x=1$ 或 $x=-1$. 当 $x=1$ 时，$y=a+1$； 当 $x=-1$ 时，$y=-(a+1)=-a-1$. 因此，曲线过原点的切线与曲线的公共点坐标为 $(1,a+1)$ 和 $(-1,-a-1)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数研究单调性、切线方程的求法、曲线与直线的交点。
2. 核心方法：利用参数法设切点，通过切线过已知点建立关于切点横坐标的方程。
3. 避坑指南：切线“过”某点不等于切线“在”某点，切点不一定是原点，必须设出切点坐标再列方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考导数解答题常规压轴小题，考查基础知识的综合运用。
2. 结论推广：求过某点的切线问题，核心在于准确设出切点并利用导数表示切线斜率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性
• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数