2021-乙卷理-03 单-命题真假

本题导读

本题考查存在量词与全称量词，以及与或非。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）已知命题 $p:\exists x\in \mathbb{R}$，$\sin x<1$；命题 $q:\forall x\in \mathbb{R}$，$e^{|x|}⩾1$，则下列命题中为真命题的是（　　）

A. $p\wedge q$　　　　　　B. $\neg p\wedge q$　　　　　　C. $p\wedge \neg q$　　　　　　D. $\neg (p\vee q)$

🔍【思路分析】

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1. 判定命题 $p$ 的真假：命题 $p$ 是一个存在性命题（$\exists$），只要能在实数集中找到一个具体的 $x$ 值使得不等式 $\sin x<1$ 成立，该命题即为真命题。

2. 判定命题 $q$ 的真假：命题 $q$ 是一个全称命题（$\forall$），需要证明对于所有实数 $x$，不等式 $e^{|x|}⩾1$ 均成立。可利用绝对值的非负性与指数函数的单调性进行推导。

3. 复合命题真假判定：在得出 $p$ 和 $q$ 各自的真假后，结合简单的复合命题真值判断法则（同真则“与”真，一真则“或”真）逐项判断四个选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 判定命题 $p$ 的真假：

命题 $p:\exists x\in \mathbb{R},\sin x<1$．

我们可以通过特值验证法寻找满足条件的 $x$：

令 $x=0$，此时 $\sin 0=0$．因为 $0<1$，所以不等式成立．

因此，至少存在一个实数 $x$ 使得 $\sin x<1$ 成立，故命题 $p$ 为真命题．

随之可知 $\neg p$ 为假命题．

2. 判定命题 $q$ 的真假：

命题 $q:\forall x\in \mathbb{R},e^{|x|}⩾1$．

根据绝对值的性质，对任意 $x\in \mathbb{R}$，恒有 $|x|⩾0$．

结合指数函数 $y=e^t$ 的底数 $e>1$，该函数在定义域上单调递增．

故当 $|x|⩾0$ 时，恒有 $e^{|x|}⩾e^0=1$．

因此对任意实数 $x$ 不等式均成立，故命题 $q$ 为真命题．

随之可知 $\neg q$ 为假命题．

3. 判定各选项的真假：

现已知：$p$ 为真，$q$ 为真。

• A 选项 ($p\wedge q$)：真 $\wedge$ 真 $=$ 真，故 A 正确．

• B 选项 ($\neg p\wedge q$)：假 $\wedge$ 真 $=$ 假，故 B 错误．

• C 选项 ($p\wedge \neg q$)：真 $\wedge$ 假 $=$ 假，故 C 错误．

• D 选项 ($\neg (p\vee q)$)：因为 $p\vee q$ 为 真 $\vee$ 真 $=$ 真，所以其否定 $\neg (p\vee q)$ 为假，故 D 错误．

4. 结论：

对应选项 A 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 特值法证真：对于存在性命题（$\exists$），想判定其为“真”，只需举出一个特例即可（本题取 $x=0$ 快速求解）。

  2. 属性法证真：对于全称命题（$\forall$），想判定其为“真”，必须结合函数的单调性、非负性等代数性质进行严谨推导。

• 规律总结：复合命题的口诀：“$p\wedge q$（一假则假，同真才真）”；“$p\vee q$（一真则真，同假才假）”。

• 避坑指南：有些考生看到 $\sin x⩽1$ 是常识，从而对 $\sin x<1$ 产生怀疑。要注意 $\sin x<1$ 只是在 $x=2k\pi +\frac{\pi }{2}$ 时不成立，对于其他所有 $x$ 均成立，这足以满足“存在（$\exists$）”的要求，不要用全称量词的要求去苛求存在量词命题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-15 填-反函数的定义域
• 2010-大纲卷I理-08
• 2010-山东卷文-05 单-奇函数求值