2021-乙卷理-04 单-函数性质

本题导读

本题考查奇偶性，以及对称性。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$，则下列函数中为奇函数的是（　　）

A. $f(x-1)-1$　　　B. $f(x-1)+1$　　　C. $f(x+1)-1$　　　D. $f(x+1)+1$

🔍【思路分析】

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这道题有两种绝佳的解题路径：

1. 几何变换法（通性通法）：先对 $f(x)$ 进行“分离常数”，将其化为反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 平移后的标准形式，从而得到其图象的对称中心。由于奇函数的图象必关于原点 $(0,0)$ 对称，所以我们只需寻找一个平移方案，将 $f(x)$ 的对称中心移至原点即可。

2. 代数验证法（直接代入验证）：直接将选项中的平移表达式代入 $f(x)$，化简后利用奇函数的定义 $g(-x)=-g(x)$ 进行检验。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：分离常数与平移变换法

1. 分离常数找对称中心：

   对函数 $f(x)$ 进行变形配凑：

   $f(x)=\frac{1-x}{1+x}=\frac{-(x+1)+2}{x+1}=-1+\frac{2}{x+1}$

   该函数可看作是由反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 向左平移 $1$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位得到的。

   因为反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的对称中心为 $(0,0)$，

   所以 $f(x)$ 图象的对称中心为 $(-1,-1)$。

2. 根据奇函数特征反推平移：

   若经过图象变换后得到的新函数是奇函数，那么新函数的对称中心必须是坐标原点 $(0,0)$。

   要将点 $(-1,-1)$ 移到 $(0,0)$：

   • 需要向右平移 $1$ 个单位（即自变量 $x$ 变为 $x-1$）；

   • 需要向上平移 $1$ 个单位（即函数值 $y$ 变为 $y+1$）。

3. 写出目标函数：

   对应的函数变换为 $y=f(x-1)+1$。

   故选项 B 满足条件。

解法二：代数直接验证法（王亮老师补解扩展）

将选项代入直接计算新函数的解析式，判断是否为奇函数。

优先验证选项 B 的函数 $g(x)=f(x-1)+1$：

4. 代入化简：

   g(x) = f(x-1) + 1 = \frac{1 - (x-1)}{1 + (x-1)} + 1$$$$g(x) = \frac{2-x}{x} + 1 = \frac{2-x+x}{x} = \frac{2}{x}

5. 奇偶性判定：

   其定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$，关于原点对称。

   $g(-x)=\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}=-g(x)$

   完全符合奇函数定义。

   故 B 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧（“分离常数”模型）：

  对于所有一次分式函数 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$，其核心特征就是双曲线。它的对称中心可以通过两条渐近线快速得出：

  1. 垂直渐近线：令分母为 $0$，即 $x=-\frac{d}{c}$。

  2. 水平渐近线：取 $x$ 的系数之比，即 $y=\frac{a}{c}$。

     因此，对称中心坐标直接得出 $\left(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right)$。本题中 $f(x)=\frac{-x+1}{x+1}$，对称中心即为 $\left(-1,\frac{-1}{1}\right)=(-1,-1)$，极其高效！

• 规律总结：奇函数图象不仅满足代数等式 $f(-x)=-f(x)$，在几何上更是要求对称中心死死“锚定”在原点 $(0,0)$ 上。图象的平移就等价于它核心“锚点”的平移。

• 避坑指南：在代数验证法中，“左加右减，上加下减”的口诀容易用错。自变量 $x\to x-1$ 是向右平移，不要和 $x+1$ 搞混了。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 2013-江西卷理-21 解-对称性
• 2014-江苏卷-19 解-函数奇偶性