2021-乙卷理-14 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算，以及平面向量的数量积与垂直。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）已知向量 $\vec{a}=(1,3)$，$\vec{b}=(3,4)$，若 $(\vec{a}-\lambda \vec{b})\perp \vec{b}$，则 $\lambda =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

本题考查平面向量的坐标运算和向量垂直的充要条件。

若两个非零向量互相垂直，则它们的数量积为 $0$。因此，由 $(\vec{a}-\lambda \vec{b})\perp \vec{b}$ 可得 $(\vec{a}-\lambda \vec{b})\cdot \vec{b}=0$。

求解 $\lambda$ 的方法通常有两种：

1. 坐标代入法：先求出 $\vec{a}-\lambda \vec{b}$ 的坐标表示，再利用坐标形式的数量积公式使其等于 $0$ 求解。

2. 数量积展开法（推荐）：直接将原式展开得 $\vec{a}\cdot \vec{b}-\lambda {\vec{b}}^2=0$，分别求出常数 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 和 ${\vec{b}}^2$ 后，即可轻松解出 $\lambda$。

✅【答案】

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$\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：坐标代入法（通法，原卷解析路径）

已知 $\vec{a}=(1,3)$，$\vec{b}=(3,4)$。

则 $\lambda \vec{b}=(3\lambda ,4\lambda )$。

所以 $\vec{a}-\lambda \vec{b}=(1-3\lambda ,3-4\lambda )$。

因为 $(\vec{a}-\lambda \vec{b})\perp \vec{b}$，

所以它们的数量积为 $0$，即 $(\vec{a}-\lambda \vec{b})\cdot \vec{b}=0$。

转化为坐标运算：

$3\times (1-3\lambda )+4\times (3-4\lambda )=0$

$3-9\lambda +12-16\lambda =0$

$15-25\lambda =0$

解得：

$\lambda =\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$。

故答案为：$\frac{3}{5}$。

解法二：数量积展开法（计算更简便，不易出错）

因为 $(\vec{a}-\lambda \vec{b})\perp \vec{b}$，

所以 $(\vec{a}-\lambda \vec{b})\cdot \vec{b}=0$。

利用向量数量积的分配律展开，得：

$\vec{a}\cdot \vec{b}-\lambda {\vec{b}}^2=0$

其中，根据已知坐标计算：

$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 3+3\times 4=3+12=15$

${\vec{b}}^2=|\vec{b}{|}^2=3^2+4^2=9+16=25$

代入展开式得：

$15-25\lambda =0$

解得：

$\lambda =\frac{3}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 向量垂直的转化：在解析几何与向量模块中，看到“垂直（$\perp$）”的第一反应必须是“数量积（内积）等于 $0$”。

2. 算法优化建议：对于形如 $(\vec{u}+k\vec{v})\cdot \vec{w}=0$ 的式子，强烈建议先展开再代坐标（即使用解法二）。因为先代坐标会产生较多带参数的项，容易在相加减时发生符号错误；而先展开则只需要分别计算几个纯数字的标量值（如本题中的 $15$ 和 $25$），再解一个极其简单的一元一次方程即可，能大幅提升计算速度和准确率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2005-江西卷理-06 单-平面向量的坐标运算