2021-乙卷理-23 解-不等式选讲

本题导读

本题考查零点分段法。核心在于零点分段法、绝对值三角不等式放缩的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）已知函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$．

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)⩾6$ 的解集；

（2）若对于任意 $x\in \mathbb{R}$，恒有 $f(x)>-a$，求 $a$ 的取值范围．

(注：原题简写为“若 $f(x)>-a$”，其本质即为该不等式在 $\mathbb{R}$ 上恒成立)

🔍【思路分析】

破题导航

本题是选考题中常见的不等式综合题：

• 第（1）问（解绝对值不等式）：代入 $a=1$，函数变为 $f(x)=|x-1|+|x+3|$。解此类两个绝对值相加的不等式，最通用、最严谨的方法是**“零点分段法”**。找到令绝对值内部为零的点（$x=1$ 和 $x=-3$），将数轴分为三段，分别去掉绝对值符号进行求解，最后将各段的解集求并集。

• 第（2）问（绝对值不等式恒成立问题）：题意转化为求函数 $f(x)$ 的最小值大于 $-a$。利用**“绝对值三角不等式”** $|m|+|n|⩾|m-n|$，可以消去变量 $x$，直接求出 $f(x)$ 的最小值。建立关于 $a$ 的不等式后解出即可。

✅【答案】

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原不等式的解集为 ①、②、③ 结果的并集

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)⩾6$ 的解集

当 $a=1$ 时，$f(x)=|x-1|+|x+3|$。

令绝对值内部为 $0$，得到两个零点：$x=1$ 和 $x=-3$。

利用零点分段法，将函数表示为分段函数：

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-(x-1)-(x+3),& x⩽-3\\ -(x-1)+(x+3),& -3<x<1\\ (x-1)+(x+3),& x⩾1\end{array}=\{\begin{array}{ll}-2x-2,& x⩽-3\\ 4,& -3<x<1\\ 2x+2,& x⩾1\end{array}$

解不等式 $f(x)⩾6$，分类讨论如下：

① 当 $x⩽-3$ 时：

$-2x-2⩾6⟹-2x⩾8⟹x⩽-4$

结合前提条件 $x⩽-3$，该段的解集为 $x⩽-4$。

② 当 $-3<x<1$ 时：

$4⩾6$

此不等式不成立，故该段无解。

③ 当 $x⩾1$ 时：

$2x+2⩾6⟹2x⩾4⟹x⩾2$

结合前提条件 $x⩾1$，该段的解集为 $x⩾2$。

综上所述，原不等式的解集为 ①、②、③ 结果的并集。

即不等式 $f(x)⩾6$ 的解集为：$(-\infty ,-4]\cup [2,+\infty )$。

（2）若 $f(x)>-a$，求 $a$ 的取值范围

由题意，不等式 $f(x)>-a$ 恒成立，即要求 $f(x{)}_{\min }>-a$。

由绝对值三角不等式可知：

$f(x)=|x-a|+|x+3|⩾|(x-a)-(x+3)|=|-a-3|=|a+3|$

当且仅当 $(x-a)(x+3)⩽0$ 时，等号成立。

所以，$f(x)$ 的最小值为 $f(x{)}_{\min }=|a+3|$。

根据题意，需满足：

$|a+3|>-a$

利用绝对值不等式的性质（$|X|>Y⟺X>Y$ 或 $X<-Y$），可化为：

$a+3>-a\text{或}a+3<-(-a)$

分别解这两个不等式：

① $a+3>-a⟹2a>-3⟹a>-\frac{3}{2}$；

② $a+3<a⟹3<0$，显然不成立，无解。

综上，求并集得 $a>-\frac{3}{2}$。

所以，$a$ 的取值范围是 $\left(-\frac{3}{2},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 零点分段法的标准化步骤：找零点 $\to$ 分区间 $\to$ 去绝对值 $\to$ 解各段不等式 $\to$ 取交集（验证前提） $\to$ 取并集（合并结果）。这是解决复杂绝对值方程/不等式的万能钥匙，必须熟练掌握，绝不丢分。

2. 绝对值三角不等式巧求最值：遇到形如 $f(x)=|x-A|+|x-B|$ 的结构，立刻想到最小值公式 $f(x{)}_{\min }=|A-B|$。其几何意义是“数轴上动点到两定点距离之和的最小值等于两定点之间的距离”。

3. 等价转化的威力：在解 $|a+3|>-a$ 时，如果不采用等价转化法则（$|X|>Y⟺X>Y\vee X<-Y$），也可以通过两边平方（因为两边符号不确定，需先分类讨论）或作图法求解，但利用基本性质化简是最快、最不容易出错的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式
• 2014-广东卷理-09 填-绝对值不等式
• 2014-新课标II卷理-24 解-绝对值三角不等式