2013-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查不等式选讲。核心在于几何意义法、分段函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） （选修 4-5）已知函数 $f(x)=|x-a|$，其中 $a>1$. （I）当 $a=2$ 时，求不等式 $f(x)\ge 4-|x-4|$ 的解集； （II）已知关于 $x$ 的不等式 $|f(2x+a)-2f(x)|\le 2$ 的解集为 $\{x|1\le x\le 2\}$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（解不等式）：
   • 方程变形为 $|x-2|+|x-4|\ge 4$。
   • 几何法：数轴上点 $x$ 到 $2$ 和 $4$ 的距离之和大于等于 $4$。
   • 分段法：以 $2$ 和 $4$ 为界分为三段讨论，去掉绝对值符号求解。
2. 第二问（求参数）：
   • 代入 $f(x)$ 表达式：$||(2x+a)-a|-2|x-a||\le 2$，即 $||2x|-2|x-a||\le 2$。
   • 由于 $a>1$ 且解集在 $[1,2]$ 内，可初步判定 $x>0$，故 $||2x|-2|x-a||=|2x-2|x-a||$。
   • 令 $h(x)=2x-2|x-a|$，分 $x\le a$ 和 $x>a$ 讨论得到分段函数，由 $|h(x)|\le 2$ 解出 $x$ 范围，使其等同于 $[1,2]$。

✅【答案】

点击查看答案

故 $a=3$

✍【详细解析】

Abstract

（I）解： 当 $a=2$ 时，不等式为 $|x-2|\ge 4-|x-4|$，即 $|x-2|+|x-4|\ge 4$。 法一（几何意义）： 表示数轴上点 $x$ 到 $2$ 与 $4$ 的距离之和大于等于 $4$。 线段 $[2,4]$ 长度为 $2$，要在两端点向外延伸，左右各需延伸 $(4-2)/2=1$ 个单位。 故 $x\le 2-1=1$ 或 $x\ge 4+1=5$。 解集为 $\{x|x\le 1\text{ 或 }x\ge 5\}$。

（II）解： $|f(2x+a)-2f(x)|=||(2x+a)-a|-2|x-a||=||2x|-2|x-a||$。 由解集 $\{x|1\le x\le 2\}$ 知 $x>0$，则上式等价于 $|2x-2|x-a||$。 令 $h(x)=2x-2|x-a|$：

• 当 $x<a$ 时，$h(x)=2x-2(a-x)=4x-2a$；
• 当 $x\ge a$ 时，$h(x)=2x-2(x-a)=2a$。 由 $|h(x)|\le 2$ 得 $-2\le h(x)\le 2$。 若 $a>1$，则 $h(x)=2a>2$，故 $x\ge a$ 范围无解。 必有 $x<a$，此时 $|4x-2a|\le 2⟹-2\le 4x-2a\le 2⟹\frac{2a-2}{4}\le x\le \frac{2a+2}{4}$。 即 $\frac{a-1}{2}\le x\le \frac{a+1}{2}$。 已知解集为 $[1,2]$，则： $\{\begin{array}{l}\frac{a-1}{2}=1\\ \frac{a+1}{2}=2\end{array}⟹a=3$。 验证 $a=3>1$，且区间上限 $2<a$ 成立。 故 $a=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值的定义及其几何意义；分段讨论函数的最值与区间。

核心方法：“几何优先，分段保底”。对于简单的 $|x-a|+|x-b|\le c$ 型，几何法最快；对于复杂的复合绝对值，分段函数法更稳健。

避坑指南：第二问中 $x$ 的范围与 $a$ 的大小关系是动态的，必须根据 $a>1$ 的已知条件排除掉不合理的区间分支。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值的定义及其几何意义；分段讨论函数的最值与区间。

结论推广：见详细解析。

方法推广：“几何优先，分段保底”。对于简单的 $|x-a|+|x-b|\le c$ 型，几何法最快；对于复杂的复合绝对值，分段函数法更稳健。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-辽宁卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-江西卷文-15 填-绝对值不等式