2021-北京卷-08 单-圆锥体积

本题导读

本题考查圆锥的体积，以及相似比应用。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（$\text{mm}$）来判断降雨程度。其中小雨（$<10\text{mm}$），中雨（$10\text{mm}-25\text{mm}$），大雨（$25\text{mm}-50\text{mm}$），暴雨（$50\text{mm}-100\text{mm}$）。小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图

，则这天降雨属于哪个等级（\quad）

A. 小雨　　　　　B. 中雨　　　　　C. 大雨　　　　　D. 暴雨

🔍【思路分析】

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识别问题类型：本题是一道立体几何的应用题，核心是理解“降雨量（积水厚度）”的物理与数学模型。

已知条件转化：

1. 模型理解：“平地上的积水厚度 $d$”在数学上等价于“收集到的雨水总体积 $V$”除以“收集容器的承水口面积 $S$”，即 $d=\frac{V}{S}$。

2. 数据提取（通过题干与原题图形隐含数据）：

   • 承水口是一个圆面，直径为 $200\text{mm}$，因此承水口半径 $R=100\text{mm}$。

   • 容器是一个倒置的圆锥，总高 $H=300\text{mm}$。

   • 收集到的雨水形成了底部的小圆锥，高 $h=150\text{mm}$。

3. 求解策略：利用相似三角形求出水面半径 $r$，再利用圆锥体积公式计算雨水体积 $V$，最后除以承水口面积 $S$ 得到厚度 $d$，对照表格判定等级。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求承水口面积 $S$

由题意，圆锥容器的开口直径为 $200\text{mm}$，

所以承水口（即开口圆面）的半径 $R=\frac{200}{2}=100\text{mm}$。

承水口面积 $S=\pi \times R^2=\pi \times 100^2=10000\pi ({\text{mm}}^2)$。

第二步：求收集到的雨水体积 $V$

雨水在圆锥形容器内也形成一个圆锥形。

根据圆锥的轴截面性质，水面半径 $r$ 与容器开口半径 $R$ 之比，等于水深 $h$ 与容器总高 $H$ 之比（相似三角形原理）。

即 $\frac{r}{R}=\frac{h}{H}$。

代入数据：$\frac{r}{100}=\frac{150}{300}$，

解得水面半径 $r=50\text{mm}$。

积水的体积即为该小圆锥的体积：

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times 50^2\times 150$

$V=50\times 2500\pi =125000\pi ({\text{mm}}^3)$。

第三步：计算等效积水厚度 $d$ 并判断等级

根据降雨量定义，积水厚度 $d$ 等于体积除以承水面积：

$d=\frac{V}{S}=\frac{125000\pi }{10000\pi }=12.5(\text{mm})$。

对照题干给出的标准：

小雨：$<10\text{mm}$

中雨：$10\text{mm}\le d\le 25\text{mm}$

大雨：$25\text{mm}<d\le 50\text{mm}$

因为 $12.5\in [10,25]$，所以这天降雨属于中雨。

结论：对应选项 B 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：

1. 数学建模能力：将实际问题中的“降雨厚度”转化为空间几何体积计算（厚度 $d=\frac{\text{雨水体积 }V}{\text{容器开口面积 }S}$）。这是一个极其重要且容易被忽略的物理常量代换。

2. 圆锥相似性质：截面圆的半径与底面圆的半径之比等于对应的高之比。

3. 圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。

   易错点提醒：计算等效厚度时，底面积 $S$ 必须使用容器最上方的开口面积（捕获雨水的有效面积），而不能用底层积水面的面积，这是许多学生在做此类生活应用题时容易犯的逻辑错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2011-新课标卷文-16 填-双圆锥外接球
• 2014-天津卷文-10 填-三视图体积