2011-新课标卷文-16 填-双圆锥外接球

本题导读

本题考查球的截面，以及圆锥的体积。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 $\frac{3}{16}$，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$\pi r^2=\frac{3}{16}\cdot 4\pi R^2$ 得 $r=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
2. 步骤2：$d=\sqrt{R^2-r^2}=\frac{R}{2}$
3. 步骤3：两圆锥高为 $\frac{R}{2}$ 与 $\frac{3R}{2}$
4. 步骤4：比 $1:3$

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R$，公共底面半径为 $r$。由题意，$\pi r^2=\frac{3}{16}\cdot 4\pi R^2=\frac{3}{4}\pi R^2$，所以 $r=\frac{\sqrt{3}}{2}R$。

设球心到公共底面所在平面的距离为 $d$，则 $d=\sqrt{R^2-r^2}=\frac{R}{2}$。

两个圆锥的顶点在公共底面两侧的球面上，因此它们的高分别为 $R-d=\frac{R}{2}$ 和 $R+d=\frac{3R}{2}$。

圆锥底面相同，体积大小规律与高大小规律相同，故所求比值为 $\frac{R/2}{3R/2}=\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的面积公式 $4\pi R^2$；球心到截面圆的距离 $d=\sqrt{R^2-r^2}$；对顶双圆锥的结构

核心方法：底面积比定 $r$ → 勾股定理求 $d$ → 两顶点在球心两侧，高为 $R\pm d$

避坑指南：两圆锥的顶点在球面两侧，高是 $R+d$ 与 $R-d$（不是 $R\pm \sqrt{R^2-r^2}$ 的其他组合）；面积比是 $\frac{3}{16}$ 倍的球面积（$4\pi R^2$），不要与球的大圆面积 $\pi R^2$ 混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双圆锥与外接球题，与 2014 年大纲卷文第 10 题、2015 年新课标Ⅰ文第 6 题同族。

结论推广：球内对顶双圆锥：底面圆半径 $r$、球心距截面 $d$，两圆锥高为 $R\mp d$，体积比 $=\frac{R-d}{R+d}$；这类”轴截面勾股”结构在旋转体外接球问题中通用。

方法推广：旋转体与球的问题一律作轴截面：把立体几何关系压缩到平面上，用 $R,r,d$ 的勾股关系联立求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-10 单-正四棱锥外接球
• 2013-辽宁卷文-10 单-直三棱柱外接球
• 2015-新课标I卷文-06 单-圆锥体积