2021-北京卷-09 单-直线与圆

本题导读

本题考查标准方程，以及相交。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）已知圆 $C:x^2+y^2=4$，直线 $l:y=kx+m$，当 $k$ 变化时，$l$ 截得圆 $C$ 弦长的最小值为 $2$，则 $m=$（）

A. $\pm 2$　　　　　　　B. $\pm \sqrt{2}$　　　　　　　C. $\pm \sqrt{3}$　　　　　　　D. $\pm \sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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识别问题类型：本题考查动直线截定圆所得弦长的最值问题。

已知条件转化与求解策略：

• 思路一（代数法-通法）： 利用圆心到直线的距离公式求出距离 $d$，结合圆的半径 $r=2$，由勾股定理表示出弦长 $L=2\sqrt{r^2-d^2}$。将其转化为关于斜率 $k$ 的函数，通过分析分式函数的极值，求出最值点对应的 $m$。

• 思路二（几何法-快捷技巧）： 观察直线 $l:y=kx+m$，发现不论 $k$ 如何变化，直线始终过 $y$ 轴上的定点 $P(0,m)$。根据圆的几何性质：“过圆内一点的弦中，与过该点的直径垂直的弦最短”，直接得出当直线水平（即 $k=0$）时弦长最短，进而快速求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数法（点到直线的距离公式 + 勾股定理）

第一步：提取圆的特征

圆 $C:x^2+y^2=4$ 的圆心为 $(0,0)$，半径 $r=2$。

第二步：表示圆心到直线的距离 $d$

直线 $l$ 的一般式方程为 $kx-y+m=0$。

圆心 $(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离为：

$d=\frac{|k\cdot 0-0+m|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=\frac{|m|}{\sqrt{k^2+1}}$。

第三步：利用勾股定理表示弦长并求最值

由圆的几何性质可知，弦长 $L=2\sqrt{r^2-d^2}$，

代入 $r$ 和 $d$ 得到：

$L=2\sqrt{4-\frac{m^2}{k^2+1}}$。

因为要求弦长的最小值，即要求 $\frac{m^2}{k^2+1}$ 取得最大值。

显然，当 $k$ 变化时，$k^2\ge 0$，所以 $k^2+1\ge 1$。

要使分式 $\frac{m^2}{k^2+1}$ 最大，其分母需最小，故当 $k=0$ 时，分母最小为 $1$，该分式取得最大值 $m^2$。

此时弦长的最小值为：

$L_{\min }=2\sqrt{4-m^2}$。

第四步：求解参数 $m$

已知弦长的最小值为 $2$，所以：

$2\sqrt{4-m^2}=2$

$\sqrt{4-m^2}=1$

$4-m^2=1$

$m^2=3$

解得 $m=\pm \sqrt{3}$。

方法二：几何法（定点最短弦性质）

直线 $l:y=kx+m$ 恒过定点 $P(0,m)$。

要使动直线截圆的弦长最短，根据平面几何性质，该弦必须与过定点 $P$ 的直径垂直。

因为定点 $P(0,m)$ 在 $y$ 轴上，所以过该点的直径所在的直线就是 $y$ 轴。

与之垂直的直线必然平行于 $x$ 轴，即直线方程为 $y=m$（此时斜率 $k=0$）。

圆心到直线 $y=m$ 的距离即为 $d=|m|$。

根据弦长公式 $2\sqrt{r^2-d^2}=2$，

代入得 $2\sqrt{4-m^2}=2$，解得 $m=\pm \sqrt{3}$。

结论：对应选项 C 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：

1. 圆的弦长公式：$L=2\sqrt{r^2-d^2}$（半弦、弦心距、半径构成的直角三角形）。

2. 点到直线的距离公式：$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

3. 动直线的定点问题：对于直线 $y=kx+m$ 或 $y-y_0=k(x-x_0)$，要敏锐地观察出它所过的定点。

   巧妙转化（快捷性质）：“过圆内一定点的所有弦中，以垂直于过该点直径的弦最短”。这是处理圆锥曲线中“弦长最值问题”非常实用的几何直观规律，能够大幅减少计算量并避免代数讨论中的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题
• 2013-江西卷理-09 单-直线与圆
• 2010-江西卷文-10 单-直线与圆弦长定参