2021-北京卷-14 填-三角函数定义

本题导读

本题考查单位圆与三角函数定义，以及对称性。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）若点 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$ 与点 $Q\left(\cos \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right),\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)\right)$ 关于 $y$ 轴对称，写出一个符合题意的 $\theta =$__________．

🔍【思路分析】

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识别问题类型：本题考查三角函数的定义以及角的终边在单位圆上的对称性问题。

求解策略：

根据三角函数的定义，点 $P$ 和点 $Q$ 都在单位圆上，它们分别对应角 $\theta$ 和角 $\theta +\frac{\pi }{6}$ 的终边与单位圆的交点。既然这两点关于 $y$ 轴对称，那么这两个角的终边也关于 $y$ 轴对称。根据终边关于 $y$ 轴对称的两个角的关系（两角之和为 $\pi +2k\pi$），列出等式求解 $\theta$ 的通解，最后取一个满足条件的特值即可。

✅【答案】

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$\frac{5\pi }{12}$ （填入满足 $\theta =k\pi +\frac{5\pi }{12},k\in \mathbb{Z}$ 的任意一个值即可）

✍【详细解析】

Abstract

$\because$ 点 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$ 与点 $Q\left(\cos \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right),\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)\right)$ 均在单位圆上，且它们关于 $y$ 轴对称，

$\therefore$ 角 $\theta$ 与角 $\theta +\frac{\pi }{6}$ 的终边关于 $y$ 轴对称。

根据终边关于 $y$ 轴对称的两角关系，它们的和应等于 $\pi$ 的奇数倍（即 $\pi +2k\pi$），

可得方程：

$\theta +\left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

化简该方程：

$2\theta +\frac{\pi }{6}=\pi +2k\pi$

$2\theta =\frac{5\pi }{6}+2k\pi$

$\theta =\frac{5\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

题目要求“写出一个符合题意的 $\theta$”，为了简便计算，我们可以取 $k=0$：

当 $k=0$ 时，$\theta =\frac{5\pi }{12}$。

结论：答案为 $\frac{5\pi }{12}$（填入任意满足 $\theta =k\pi +\frac{5\pi }{12},k\in \mathbb{Z}$ 的值均算正确，例如 $\frac{17\pi }{12},-\frac{7\pi }{12}$ 等）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：

1. 单位圆与三角函数定义：角 $\alpha$ 的终边与单位圆的交点坐标必定为 $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$。

2. 终边对称的角的代数关系（常考重要结论）：

   • 若角 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称，则 $\alpha +\beta =\pi +2k\pi (k\in \mathbb{Z})$；

   • 若角 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于 $x$ 轴对称，则 $\alpha +\beta =2k\pi (k\in \mathbb{Z})$；

   • 若角 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于原点对称，则 $\alpha -\beta =\pi +2k\pi (k\in \mathbb{Z})$；

   • 若角 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于直线 $y=x$ 对称，则 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$。

易错点提醒：

1. 忽略周期性：虽然本题是“写出一个”，但在列关系式时，务必写上 $+2k\pi$，养成严谨的代数思维，否则在解答题中必定会漏解。

2. 坐标系内的代数运算：若不使用终边角公式，也可直接利用点关于 $y$ 轴对称的坐标特征（横坐标相反，纵坐标相等）：

   $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)=-\cos \theta$ 且 $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)=\sin \theta$

   解此三角方程组也能得出答案，但运算量远大于直接使用单位圆几何性质。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象
• 2001-上海卷理-11 填-三角函数的图象与性质
• 2001-大纲理-06 单-反函数的概念与求解方法