2021-天津卷-04 单-频率分布直方图

本题导读

本题考查统计学基础，以及频率分布直方图的识图与应用。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取 $400$ 部，统计其评分数据，将所得 $400$ 个评分数据分为 $8$ 组：$[66,70)$、$[70,74)$、$\cdots$、$[94,98]$，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间 $[82,86)$ 内的影视作品数量是（ ）

A. $20$　　　　　　　B. $40$　　　　　　　C. $64$　　　　　　　D. $80$

🔍【思路分析】

破题导航

解决频率分布直方图相关问题的核心在于理解直方图的几何意义及其对应的统计学公式：

1. 纵轴的意义：直方图的纵轴表示的是 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$，而非直接的频率。

2. 面积法求频率：频率 = 对应矩形的面积 = 组距 $\times$ 矩形的高（即纵坐标的值）。

3. 公式法求频数：频数 = 样本总容量 $\times$ 频率。

本题中，样本总容量已知为 $400$，只需从直方图中读出区间 $[82,86)$ 对应矩形的高，乘以组距得到该区间的频率，再乘以 $400$ 即可得出答案。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

已知样本总容量 $N=400$，观察数据分组 $[66,70)$、$[70,74)$ 等可知，数据的组距为：

$d=70-66=4$

由频率分布直方图可知，评分在区间 $[82,86)$ 对应的矩形的高（即 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$ 的值）为 $0.05$。

第一步：计算该区间的频率 $P$

根据公式“频率 = 组距 $\times$ 矩形的高”，可得区间 $[82,86)$ 的频率为：

$P=4\times 0.05=0.2$

第二步：计算该区间的频数（即影视作品数量）$n$

根据公式“频数 = 样本总数 $\times$ 频率”，可得：

$n=400\times 0.2=80$

所以，评分在区间 $[82,86)$ 内的影视作品数量是 $80$ 部。

对比选项，正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

频率分布直方图的三大核心性质：

1. 小矩形面积：每个小矩形的面积等于该组数据的频率。

2. 面积总和：所有小矩形的面积之和必定等于 $1$。

3. 纵轴坐标：纵轴坐标表示 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$，在计算频率时切忌忘记乘以组距。

这道题直接给出了对应区间的高，属于最直接的考察。做题时只要不把纵坐标当成频率直接去乘样本容量，就不会出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

在频率分布直方图的考题中，除了直接计算频数，常考的进阶问题还包括：

1. 求未知组的高：若某一组的高未标出，可利用“所有矩形面积之和等于 $1$”列方程求解：

   $1-\sum (\text{已知各组高}\times \text{组距})=\text{未知组频率}$

2. 估算平均数：平均数 $\approx$ 每个矩形底边中点值 $\times$ 对应矩形的面积（频率）之和。

3. 估算中位数：中位数所在的垂直线将直方图的总面积平分为左右各 $0.5$ 的两部分。可以先通过累加各组频率找到面积达到 $0.5$ 所在的组，再利用相似比或线性插值算出具体的横坐标值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2006-重庆卷理-06 单-频数与频率的关系
• 2007-山东卷理-08 单-频率频数转化
• 2008-广东卷文-11 填-频率直方图数人数